量变引起质变，努力让目标实现。
（2）答案不唯一．如n（n+2）﹣（n+1）=﹣1；（5分） （3）一定成立．
理由：n（n+2）﹣（n+1）=n+2n﹣（n+2n+1）（7分） =n+2n﹣n﹣2n﹣1=﹣1．（8分） 故n（n+2）﹣（n+1）=﹣1成立． 故答案为：4×6﹣5=24﹣25=﹣1．
17． 证明：（1）①结合∠BAC=90°，AB=AC，得到∠BCF=∠ACB+∠ACF=90度．即CF⊥BD．当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．由正方形ADEF的性质可推出△DAB≌△FAC，所以CF=BD． ②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立． 由正方形ADEF得AD=AF，∠DAF=90度． ∵∠BAC=90°， ∴∠DAF=∠BAC， ∴∠DAB=∠FAC， 又∵AB=AC， ∴△DAB≌△FAC， ∴CF=BD，∠ACF=∠ABD． ∵∠BAC=90°，AB=AC， ∴∠ABC=45°， ∴∠ACF=45°，
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90度． 即CF⊥BD．
（2）当∠ACB=45°时，CF⊥BD（如图）． 理由：过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G， 则∠GAC=90°，
∵∠ACB=45°，∠AGC=90°﹣∠ACB， ∴∠AGC=90°﹣45°=45°， ∴∠ACB=∠AGC=45°， ∴AC=AG，
∵∠DAG=∠FAC（同角的余角相等），AD=AF， ∴△GAD≌△CAF， ∴∠ACF=∠AGC=45°，
∠BCF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，即CF⊥BC．
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2
2
2
2
2
2
22
量变引起质变，努力让目标实现。 18．解：（1）抛物线的对称轴x=﹣
2
=；（2分）
=，
（2）由抛物线y=ax﹣5ax+4可知C（0，4），对称轴x=﹣∴BC=5，B（5，4），又AC=BC=5，OC=4， 在Rt△AOC中，由勾股定理，得AO=3， ∴A（﹣3，0）B（5，4）C（0，4）（5分） 把点A坐标代入y=ax﹣5ax+4中， 解得a=﹣，（6） ∴y=
x+x+4．（7分）
2
2
（3）存在符合条件的点P共有3个．以下分三类情形探索． 设抛物线对称轴与x轴交于N，与CB交于M． 过点B作BQ⊥x轴于Q，
易得BQ=4，AQ=8，AN=5.5，BM=．
①以AB为腰且顶角为角A的△PAB有1个：△P1AB．
22222
∴AB=AQ+BQ=8+4=80（8分） 在Rt△ANP1中，P1N=∴P1（，﹣
）．（9分）
=
=
=
，
②以AB为腰且顶角为角B的△PAB有1个：△P2AB． 在Rt△BMP2中MP2=∴P2=（，
）．（11分）
=
=
=
，（10分）
③以AB为底，顶角为角P的△PAB有1个，即△P3AB．
画AB的垂直平分线交抛物线对称轴于P3，此时平分线必过等腰△ABC的顶点C． 过点P3作P3K垂直y轴，垂足为K， ∵∠CP3K=∠ABQ，∠CKP3=∠AQB， ∴Rt△P3CK∽Rt△BAQ． ∴
=
=．
∵P3K=2.5
∴CK=5于是OK=1，（13分） ∴P3（2.5，﹣1）．（14分）
19．（2012?天水）为奖励在演讲比赛中获奖的同学，班主任派学习委员小明为获奖同学买奖品，要求每人一件．小
明到文具店看了商品后，决定奖品在钢笔和笔记本中选择．如果买4个笔记本和2支钢笔，则需86元；如果买3个笔记本和1支钢笔，则需57元．
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量变引起质变，努力让目标实现。
（1）求购买每个笔记本和钢笔分别为多少元？
（2）售货员提示，买钢笔有优惠，具体方法是：如果买钢笔超过10支，那么超出部分可以享受8折优惠，若买x（x＞0）支钢笔需要花y元，请你求出y与x的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，小明决定买同一种奖品，数量超过10个，请帮小明判断买哪种奖品省钱． 20．（2011?岳阳）如图1，将菱形纸片AB（E）CD（F）沿对角线BD（EF）剪开，得到△ABD和△ECF，固定△ABD，并把△ABD与△ECF叠放在一
起．
（1）操作：如图2，将△ECF的顶点F固定在△ABD的BD边上的中点处，△ECF绕点F在BD边上方左右旋转，设旋转时FC交BA于点H（H点不与B点重合），FE交DA于点G（G点不与D点重合）． 求证：BH?GD=BF
（2）操作：如图3，△ECF的顶点F在△ABD的BD边上滑动（F点不与B、D点重合），且CF始终经过点A，过点A作AG∥CE，交FE于点G，连接DG． 探究：FD+DG= _________ ．请予证明． 21．（2007?金华）如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（0，4），点B在x正半轴上，且∠ABO=30度．动点P在线段AB上从点A向点B以每秒个单位的速度运动，设运动时间为t秒．在x轴上取两点M，N作等边△PMN．
（1）求直线AB的解析式；
（2）求等边△PMN的边长（用t的代数式表示），并求出当等边△PMN的顶点M运动到与原点O重合时t的值； （3）如果取OB的中点D，以OD为边在Rt△AOB内部作如图2所示的矩形ODCE，点C在线段AB上．设等边△PMN和矩形ODCE重叠部分的面积为S，请求出当0≤t≤2秒时S与t的函数关系式，并求出S的最大值．
2
参考答案与试题解析（希望你能找到更有效，更规范的方法与大家分享）
19．解：（1）设每个笔记本x元，每支钢笔y元．（1分）
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量变引起质变，努力让目标实现。
解得
答：每个笔记本14元，每支钢笔15元．（5分） （2）
（3）当14x＜12x+30时，x＜15； 当14x=12x+30时，x=15； 当14x＞12x+30时，x＞15．（8分）
综上，当买超过10件但少于15件商品时，买笔记本省钱； 当买15件奖品时，买笔记本和钢笔一样； 当买奖品超过15件时，买钢笔省钱．（10分） 20．证明：（1）∵将菱形纸片AB（E）CD（F）沿对角线BD（EF）剪开， ∴∠B=∠D，
∵将△ECF的顶点F固定在△ABD的BD边上的中点处，△ECF绕点F在BD边上方左右旋转， ∴BF=DF，
∵∠HFG=∠B，
又∵∠HFD=∠HFG+∠GFD=∠B+∠BHF ∴∠GFD=∠BHF， ∴△BFH∽△DGF， ∴
，
2
∴BH?GD=BF； （2）∵AG∥CE， ∴∠FAG=∠C， ∵∠CFE=∠CEF， ∴∠AGF=∠CFE， ∴AF=AG，
∵∠BAD=∠C， ∴∠BAF=∠DAG， 又∵AB=AD，
∴△ABF≌△ADG， ∴FB=DG， ∴FD+DG=BD， 故答案为：BD． 21．解：（1）由OA=4，∠ABO=30°，得到OB=12， ∴B（12，0），设直线AB解析式为y=kx+b， 把A和B坐标代入得：则直线AB的解析式为：y=﹣
，解得：x+4
．
，
（2）∵∠AOB=90°，∠ABO=30°， ∴AB=2OA=8， ∵AP=t， ∴BP=AB﹣AP=8t， ∵△PMN是等边三角形， ∴∠MPB=90°， ∵tan∠PBM=
，
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量变引起质变，努力让目标实现。 ∴PM=（8
﹣
t）×
=8﹣t．
如图1，过P分别作PQ⊥y轴于Q，PS⊥x轴于S， 可求得AQ=AP=∴PM=（4
﹣
t，PS=QO=4）÷
=8﹣t，
﹣
t，
当点M与点O重合时， ∵∠BAO=60°， ∴AO=2AP．
∴4=2t，∴t=2．
（3）①当0≤t≤1时，见图2．
设PN交EC于点G，重叠部分为直角梯形EONG，作GH⊥OB于H． ∵∠GNH=60°，，∴HN=2， ∵PM=8﹣t，∴BM=16﹣2t，
∵OB=12，∴ON=（8﹣t）﹣（16﹣2t﹣12）=4+t， ∴OH=ON﹣HN=4+t﹣2=2+t=EG， ∴S=（2+t+4+t）×2
=2
t+6
．
∵S随t的增大而增大，∴当t=1时，Smax=8． ②当1＜t＜2时，见图3．
设PM交EC于点I，交EO于点F，PN交EC于点G，重叠部分为五边形OFIGN． 作GH⊥OB于H， ∵FO=4﹣2t，
∴EF=2﹣（4﹣2t）=2t﹣2， ∴EI=2t﹣2．
∴S=S梯形ONGE﹣S△FEI=2
2
t+6﹣（2t﹣2）（2
，PC=4
t﹣2﹣
）=﹣2t+6
2
t+4
由题意可得MO=4﹣2t，OF=（4﹣2t）×再计算S△FMO=（4﹣2t）×S△PMN=
（8﹣t），S△PIG=
2
t，PI=4﹣t，
（4﹣t）， （8﹣t）﹣
22
∴S=S△PMN﹣S△PIG﹣S△FMO==﹣2t+6t+4
∵﹣2＜0， ∴当
2
（4﹣t）﹣（4﹣2t）×
22
．
时，S有最大值，Smax=
③当t=2时，MP=MN=6，即N与D重合， 设PM交EC于点I，PD交EC于点G，重叠部 分为等腰梯形IMNG，见图4．S=综上所述：当0≤t≤1时，S=2
2
当1＜t＜2时，S=﹣2t+6当t=2时，S=8． ∵
∴S的最大值是
，
．
t+6t+4
×6﹣； ；
2
×2=8
2
，
22．（2005?南京）某洗衣机在洗涤衣服时，经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y（升）与时间x（分钟）之间的关系如折线图所示：根据图象解答下列问题： （1）洗衣机的进水时间是多少分钟清洗时洗衣机中的水量是多少升？
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