2013高考数学分类汇总 考点25 数列求和及综合应用(2)

从而an+1=f(an)=an+c+8,

由于{an}为等差数列,因此其公差d=c+8. ①若a1<-c-4,则a2=f(a1)=-a1-c-8, 又a2=a1+d=a1+c+8,故-a1-c-8=a1+c+8, 即a1=-c-8,从而a2=0,

当n≥2时,由于{an}为递增数列,故an≥a2=0>-c,所以an+1=f(an)=an+c+8, 而a2=a1+c+8,故当a1=-c-8时,{an}为无穷等差数列,符合要求. ②若-c-4≤a1<-c,则a2=f(a1)=3a1+3c+8,

又a2=a1+d=a1+c+8,所以,3a1+3c+8=a1+c+8,得a1=-c,舍去. ③若a1≥-c,则由an≥a1得到an+1=f(an)=an+c+8, 从而{an}为无穷等差数列,符合要求. 综上a1的取值集合为{-c-8}∪[-c,+∞).

9.（2013·上海高考文科·T22）已知函数f(x)?2?x，无穷数列?an?满足an+1=f(an),n∈N*

（1）若a1=0，求a2，a3，a4；

（2）若a1＞0，且a1，a2，a3成等比数列，求a1的值.

（3）是否存在a1，使得a1，a2，…，an…成等差数列？若存在，求出所有这样的a1；若不存在，说明理由. 【解析】(1)a2=2,a3=0,a4=2. (2)a2=2-|a1|=2-a1,a3=2-|a2|=2-|2-a1|. ①当0

- 6 -

②当a1>2时,a3=2-(a1-2)=4-a1, 所以a1(4-a1)=(2-a1)2, 得a1=2-(舍去)或a1=2+. 综合①②得a1=1或a1=2+.

(3)假设这样的等差数列存在,那么a2=2-|a1|,a3=2-|2-|a1||. 由2a2=a1+a3得2-a1+|2-|a1||=2|a1|(*). 以下分情况讨论:

①当a1>2时,由(*)得a1=0,与a1>2矛盾; ②当0

③当a1≤0时,则公差d=a2-a1=(a1+2)-a1=2>0, 因此存在m≥2使得am=a1+2(m-1)>2. 此时d=am+1-am=2-|am|-am<0,矛盾.

综合①②③可知,当且仅当a1=1时,a1,a2,a3,…,构成等差数列.

10. （2013·江苏高考数学科·Ｔ19）设{an}是首项为a，公差为d的等差数列

(d?0)，Sn是其前n项和。记bn?nSn*n?N，，其中c为实数。 2n?c（1）若c?0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：Snk?n2Sk（k,n?N*）； （2）若{bn}是等差数列，证明：c?0。

【解题指南】利用条件c?0，且b1，b2，b4成等比数列，求出Sn，再代入证明（2）利用条件{bn}是等差数列建立与c有关方程。 【证明】由题设知,Sn=na+

n(n?1)d. 2- 7 -

（1）若c?0，得bn?2Sn(n?1)d?a?.又因为b1,b2,b4成等比数列,所以b22?b1b4, n2d?3d?2?即：??a???a?a??，化简得d-2ad=0.因为d≠0,所以d=2a.

2?2???因此,对于所有的m∈N*,有Sm=m2a.

从而对于所有的k,n∈N*,有Snk=(nk)2a=n2k2a=n2Sk. (2)设数列{bn}的公差是d1,则bn=b1+(n-1)d1, n∈N*, 代入Sn的表达式,整理得,对于所有的n∈N*,有

112

(d1?d)n3+(b1-d1-a+d)n+cd1n=c(d1-b1).

2211令A=d1-d,B=b1-d1-a+d,D=c(d1-b1),则对于所有的n∈N*,有An3+Bn2+cd1n=D.

22(*)

在(*)式中分别取n=1,2,3,4,得

A+B+cd1=8A+4B+2cd1=27A+9B+3cd1=64A+16B+4cd1,

(1)?7A?3B?cd1?0?从而有?19A?5B?cd1?0(2)

?21A?5B?cd?0(3)1?由（2）（3）得A=0,cd1=-5B,代入方程（1）,得B=0,从而cd1=0. 即d1-d=0,b1-d1-a+d=0,cd1=0.

若d1=0,则由d1-d=0,得d=0,与题设矛盾,所以d1≠0. 又因为cd1=0,所以c=0.

11.（2013·湖南高考文科·Ｔ19）设Sn为数列{an}的前项和，已知a1?0，2an?a1?S1?Sn，n?N?

（Ⅰ）求a1，a2，并求数列｛an｝的通项公式； (Ⅱ) 求数列｛nan｝的前n项和。

121212- 8 -

【解题指南】（Ⅰ）本题是利用递推关系 an???S1,n?1, 求数列的通项公式 ；

?Sn?Sn?1,n?2,（Ⅱ）根据第(Ⅰ)问可知应利用错位相减法求数列前n项和. 【解析】（Ⅰ）令n?1，得2a1?a1?a12，因为a1?0，所以a1?1， 令n?2，得2a2?1?s2?1?a2，解得a2?2。当n?2时，由2an?1?sn

2an?1?1?sn?1，两式相减，整理得an?2an?1，于是数列?an?是首项为1，公比为2

的等比数列，所以，an?2n?1。

(Ⅱ)由(I )知nan?n2n?1，记其前n项和为Tn，于是 Tn?1?2?2?3?22???n?2n?1 ① 2Tn?1?2?2?22?3?23???n?2n ②

① -②得 ?Tn?1?2?22???2n?1?n?2n?2n?1?n?2n 从而Tn?1?(n?1)2n

12.（2013·江西高考理科·Ｔ17）正项数列{an}的前n项和Sn满足：

Sn2?(n2?n?1)Sn?(n2?n)?0

(1)求数列{an}的通项公式an. (2)令bn=5n+1n?N*T?，数列{b}的前n项和为T．证明：对于任意，都有. nnn2264(n+2)an【解题指南】(1)由题目中的等式求出Sn，然后由Sn求an；（2）化简bn，观察结构特征，选取求和的方法求Tn.

【解析】（1）由Sn2?(n2?n?1)Sn?(n2?n)?0得[Sn?(n2?n)](Sn?1)?0 由于?an?是正项数列，所以Sn?0,Sn?n2?n.于是，当n?2时，

an?Sn?Sn?1?(n2?n)?[(n?1)2?(n?1)]=2n,又因为a1?s1?2符合上式.综上，数列?an?的通项公式为an?2n.

- 9 -

(2)因为an?2n，bn=则Tn??n+1111n+1，所以b=?[?]. n(n+2)24n216n2(n?2)2(n+2)2an2?1111???] 2222(n?1)(n?1)n(n?2)111111[1?2?2?2?2?2?16324351111115. [1?2??]?(1?)?162(n?1)2(n?2)216226413.（2013·江西高考文科·Ｔ16）正项数列｛an｝满足an2?(2n?1)an?2n?0. (1)求数列｛an｝的通项公式an； (2)令bn=

1(n?1)an，求数列｛bn｝的前n项和Tn.

【解题指南】借助二次三项式的因式分解来求an，分析｛bn｝通项公式的特点选择正确的求和方法.

【解析】(1)由an2?(2n?1)an?2n?0，得(an?2n)(an?1)?0.由于｛an｝是正项数列，所以an?2n. (2)由an?2n，bn=

1(n?1)an，则bn??1111?(?).

2n(n?1)2nn?1所以Tn?1(1?1?1?1?2223111111n???)?(1?)?. n?1nnn?12n?12(n?1)14.(2013·福建高考文科·T17)已知等差数列{an}的公差d=1,前n项和为Sn. (1)若1,a1,a3成等比数列,求a1. (2)若S5>a1a9,求a1的取值范围.

【解题指南】按等比中项列式,a3用通项表示,求出首项,第(2)问,直接按基本量列式求解.

【解析】(1)因为数列{an}的公差d=1,且1,a1,a3成等比数列,所以a12=1×(a1+2),即

a12-a1-2=0,解得a1=-1或a1=2.

- 10 -

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库2013高考数学分类汇总 考点25 数列求和及综合应用(2)在线全文阅读。