广东省十校2014届高三上学期第一次联考数学理试题(3)

故圆T的方程为：(x?2)?y?2213． ???8分 25(3) 方法一：设P(x0,y0)，则直线MP的方程为：y?y0?y0?y1(x?x0)，

x0?x1令y?0，得xR?22x1y0?x0y1xy?x0y1， 同理：xS?10， ????10分

y0?y1y0?y122故xR?xS?x1y0?x0y1y0?y122 （**） ??????11分

2222又点M与点P在椭圆上，故x0?4(1?y0)，x1?4(1?y1)，????????12分 代入（**）式，得： xR?xS?4(1?y1)y0?4(1?y0)y1y0?y1222222?4(y0?y1)y0?y12222?4．

所以OR?OS?xR?xS?xR?xS?4为定值．????????14分

方法二：设M(2cos?,sin?),N(2cos?,?sin?)，不妨设sin??0，P(2cos?,sin?)，其中sin???sin?．则直线MP的方程为：y?sin??令y?0，得xR?sin??sin?(x?2cos?)，

2cos??2cos?2(sin?cos??cos?sin?)，

sin??sin?2(sin?cos??cos?sin?)同理：xS?，??????12分

sin??sin?4(sin2?cos2??cos2?sin2?)4(sin2??sin2?)??4． 故xR?xS?2222sin??sin?sin??sin?所以OR?OS?xR?xS?xR?xS?4为定值．????14分ks5u

x[2ax2?(1?4a)x?(4a2?2)]2a2?x?2x?2a?21．(1)解：f?(x)? ??1分

2ax?12ax?1因为x = 2为f (x)的极值点，所以f?(2)?0

2a即?2a?0，解得：a = 0 4a?1又当a = 0时，f?(x)?x(x?2)，从而x = 2为f (x)的极值点成立． (2)解：∵f (x)在区间[3，+∞)上为增函数，

x[2ax2?(1?4a)x?(4a2?2)]≥0在区间[3，+∞)上恒成立． ∴f?(x)?2ax?1??2分 ??3分 ??4分

??5分

①当a = 0时，f?(x)?x(x?2)≥0在[3，+∞)上恒成立，所以f (x)在[3，+∞)上为增函数， 故a = 0符合题意．

??6分

②当a≠0时，由函数f (x)的定义域可知，必须有2ax + 1 > 0对x≥3恒成立，故只能a > 0，

所以2ax2?(1?4a)x?(4a2?2)≥0在区间[3，+∞)上恒成立． ??7分

1令g(x)?2ax2?(1?4a)x?(4a2?2)，其对称轴为1? ??8分

4a1∵a > 0，∴1??1，从而g (x)≥0在[3，+∞)上恒成立，只要g (3)≥0即可，

4a3?133?13≤a≤由g(3)??4a2?6a?1≥0，解得： ??9分 443?133?13∵a > 0，∴0?a≤．综上所述，a的取值范围为[0，] ??10分

44(1?x)3b1b?可化为，lnx?(1?x)2?(1?x)?． (3)解：a??时，方程f(1?x)?3xx2问题转化为b?x[lnx?x?x2]在(0，+∞)上有解 ??11分

(2x1?())?x1令h(x)?lnx?x?x2，则h?(x ks5u?12分 )??12?x?xx当0 < x < 1时，h?(x)?0，∴h (x)在(0，1)上为增函数

当x > 1时，h?(x)?0，∴h (x)在(1，+∞)上为减函数

故h (x)≤h (1) = 0，而x > 0，故b?xh(x)≤0 即实数b的最大值是0． ??14分

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