2015年山东省济宁市高考数学一模试卷（理科）(5)

∴y1+y2=，y1y2=

，

∴x1+x2=m（y1+y2）﹣4=

．

∴PQ的中点N．

∴直线ON的斜率kON=﹣． 又直线OT的斜率kOT=﹣． ∴点N在直线OT上， ∴OT平分线段PQ． （ii）由（i）可得|TF|=|PQ|=

．

=

=．

∴===，当且仅

当m=±1时取等号． ∴当

最小时，点T的坐标为（﹣3，±1）．

【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根

与系数的关系、弦长公式、直线平分线段问题、斜率计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

21．（14分）（2015?济宁一模）已知函数f（x）=e﹣ax﹣a（其中a∈R，e是自然对数的底数，e=2.71828…）．

（I）当a=e时，求函数f（x）的极值； （Ⅱ）当0≤a≤1时，求证f（x）≥0；

（Ⅲ）求证：对任意正整数n，都有（1+）（1+

）…（1+

）＜e．

x

【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．

【专题】导数的综合应用． 【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，得出单调区间，从而求出极值； （Ⅱ）只要求出函数的最小值，证明函数的最小值大于等于0即可；

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（Ⅲ）由函数的最小值，构造不等式，令x=

，运用累加法即可证明．

，得出关于正整数n的不等式

【解答】解：（Ⅰ）当a=e时，f（x）=e﹣ex﹣e，f′（x）=e﹣e， 当x＜1时，f′（x）＜0；当x＞1时，f′（x）＞0；

所以函数f（x）在（﹣∞，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增， 所以函数f（x）在x=1处取得极小值f（1）=﹣e，函数f（x）无极大值；

xx

（Ⅱ）由f（x）=e﹣ax﹣a，f′（x）=e﹣a

x

①当a=0时，f（x）=e≥0恒成立，满足条件， ②当0＜a≤1时，由f′（x）=0，得x=lna，

则当x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）＜0，当x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0， ∴函数f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增， ∴函数f（x）在x=lna处取得极小值即为最小值，

lna

f（x）min=f（lna）=e﹣alna﹣a=﹣alna

∵0＜a≤1，∴lna≤0，∴﹣alna≥0，∴f（x）min≥0， ∴综上得，当0≤a≤1时，f（x）≥0；

x

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当a=1时，f（x）≥0 恒成立，所以f（x）=e﹣x﹣1≥0恒成立， 即e≥x+1，∴ln（x+1）≤x，令x=

x

xx

（n∈N+），得

，

∴≤==1﹣

，

∴（1+）（1+

）…（1+

）＜e．

【点评】本题考查了函数的单调性，极值，恒成立问题，以及不等式的证明，运用了等价转

化，分类讨论和化归思想．属于导数中的综合题，较难．

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参与本试卷答题和审题的老师有：sxs123；cst；changq；caoqz；智者乐水；w3239003；涨停；双曲线；sdpyqzh；刘长柏；sllwyn；翔宇老师；孙佑中；zlzhan；静定禅心（排名不分先后） 菁优网

2015年11月20日

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考点卡片

1．并集及其运算 【知识点的认识】

由所有属于集合A或属于集合B的元素的组成的集合叫做A与B的并集，记作A∪B． 符号语言：A∪B={x|x∈A或x∈B}．

图形语言：．

A∪B实际理解为：①x仅是A中元素；②x仅是B中的元素；③x是A且是B中的元素． 运算形状：

①A∪B=B∪A．②A∪?=A．③A∪A=A．④A∪B?A，

A∪B?B．⑤A∪B=B?A?B．⑥A∪B=?，两个集合都是空集．⑦A∪（CUA）=U．⑧CU（A∪B）=（CUA）∩（CUB）．

【解题方法点拨】解答并集问题，需要注意并集中：“或”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；注意并集中元素的互异性．不能重复．

【命题方向】掌握并集的表示法，会求两个集合的并集，命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域联合命题．

2．命题的真假判断与应用 【知识点的认识】

判断含有“或”、“且”、“非”的复舍命题的真假，首先要明确p、q及非p的真假，然后由真值表判断复合命题的真假．

注意：“非p”的正确写法，本题不应将“非p”写成“方程x2﹣2x+1=0的两根都不是实根”，因为“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要认真区分．

【解题方法点拨】

1．判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后由真值表得出复合命题的真假． 2．判断一个“若p则q”形式的复合命题的真假，不能用真值表时，可用下列方法：若“p q”，则“若p则q”为真；而要确定“若p则q”为假，只需举出一个反例说明即可．

3．判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假这一关系进行转化判断．

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【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题形式出现．

3．函数的图象 【知识点的认识】

1．利用描点法作函数图象

其基本步骤是列表、描点、连线．

首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性等）．

其次：列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等），描点，连线．

2．利用图象变换法作函数的图象 （1）平移变换：

y=f（x）a＞0，右移a个单位（a＜0，左移|a|个单位）?y=f（x﹣a）； y=f（x）b＞0，上移b个单位（b＜0，下移|b|个单位）?y=f（x）+b． （2）伸缩变换：

y=f（x） y=f（ωx）；

y=f（x）A＞1，伸为原来的A倍（0＜A＜1，缩为原来的A倍）?y=Af（x）．

（3）对称变换：

y=f（x）关于x轴对称?y=﹣f（x）； y=f（x）关于y轴对称?y=f（﹣x）； y=f（x）关于原点对称?y=﹣f（﹣x）． （4）翻折变换：

y=f（x）去掉y轴左边图，保留y轴右边图，将y轴右边的图象翻折到左边?y=f（|x|）； y=f（x）留下x轴上方图将x轴下方图翻折上去y=|f（x）|．

【解题方法点拨】

1、画函数图象的一般方法

（1）直接法：当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本函数或解析几何中熟悉的曲线时，可根据这些函数或曲线的特征直接作出．

（2）图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．

（3）描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法．为了通过描少量点，就能得到比较准确的图象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论． 2、寻找图象与函数解析式之间的对应关系的方法 （1）知图选式：

①从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域； ②从图象的变化趋势，观察函数的单调性； ③从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性； ④从图象的循环往复，观察函数的周期性．

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