2010高考数学二轮复习专题12：直线与圆、参数方程与极坐标及限时(3)

10. 已知方程

.

（1）试证：不论如何变化，方程都表示顶点在同一椭圆上的抛物线； （2）?为何值时，该抛物线在直线x=14上截得的弦最长？并求出此弦长.

【限时训练参考答案】 一、选择题

1. D 2. B 3. A 4. D

二、填空题

5. ①⑤ 6.zmax?

三、解答题

8. 【解析】(1) 设A、B的横坐标分别为x1，x2，由题设知x1＞1，x2＞1，点A（x1，log8x1），B（x2，log8x2）.

因为A、B在过点O的直线上，所以

4?37，zmin?4?37. 7. 1 . log8x1x1?log8x2x2.

又点C、D的坐标分别为（x1，log2x1），（x2，log2x2）， 由于log2x1＝

loglog88x12＝3log8x1，log2x2＝

loglog88x222＝3log8x2，

所以OC的斜率和OD的斜率分别为kOC?logx1x1?3log8x1x1,kOD?log2x2x2?3log8x2x2.

由此得kOC＝kOD，即O、C、D在同一条直线上.

(2) 由BC平行于x轴，有log2x1＝log8x2，解得 x2＝x13， 将其代入

log8x1x1?log8x2x2，得x13log8x1＝3x1log8x1.

3

由于x1＞1，知log8x1≠0，故x1＝3x1，x1＝3，于是点A的坐标为（3，log83）.

9. 【解析】(1)设直线l的方程为y?k(x?4)，即kx?y?4k?0. 由垂径定理，得圆心C1到直线l的距离d?24?(232)?1.

2

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结合点到直线距离公式，得|?3k?1?4k|?1,k2?1化简得24k2?7k?0,k?0,or,k??724.

直线l的方程为y?0或y??724(x?4)，即y?0或7x?24y?28?0.

(2) 设点P坐标为(m,n)，直线l11、l2的方程分别为y?n?k(x?m),y?n??k(x?m)，即kx?y?n?km?0,?1kx?y?n?1km?0.

因为直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，两圆半径相等. 由垂径定理，得圆心C1到直线l1与C2直线l2的距离相等.

|?3k?1?n?km||?45?n?1故有km|，

k2?k??11k2?1化简得(2?m?n)k?m?n?3,或(m?n?8)k?m?n?5，

关于k的方程有无穷多解，有?2?m?n?0??m-n+8=0?m?n?3?0,或??m+n-5=0

解之得点P坐标为(?32,132)或(52,?12).

10. 【解析】（1）把原方程化为?y?3sin??2?2(x?4cos?).

2抛物线的顶点为?4cos?,3sin??，它在椭圆

x16?y29?1上.

（2）当时，弦长最大为12.

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