第二届“南方杯”数学邀请赛十一年级（高二）第2试(2)

归海木心 qq:634102564

15．解：如图，连结AI，CI。本题的关键在于发现并证明：I、C、D、A四点共圆。 由AC = AD得：?ACD??ADC??(??90?) 又?ABC??CAD?180?2? 记?BAI??CAI??，则

?180???ABC??CAB180??(180??2?)?2??????。 ?ACI??BCI?22 （由?BAD?180得：2??180??2??180?，从而????0?）?????????.6分

由上可知：

??ICD??IAD?(?ICA??ACD)?(?IAC??CAD)?(?????)?(??180?2?)?180 于是I、C、D、A四点共圆，???????????9分 所以?ADI??ACI????，?????????11分

B

??

A

E

I

C 图3

D

在△ADE中，由内角和为180得：

?

?AED?180??(?EAD??ADE)?180??(?EAC??CAD??ADE)?180?(2??180?2?????)??????ACI?????.14分

因此AE = AD。??????????????????????????????????????15分

16．解：令x?m?nm?n,y?，??????????????????????????????3分 aa(m?n)2m2?n2(m?n)2?b??a??1， 则由题给等式得：a?aaa化简为(2a?b)?m?(2a?b)?n?a???①??????????????????????4分

22(m?n)2?(m?n)22??(m2?n2)???②???????????5分 这时，f?x?y?aa22(1) 若2a?b?0，即b?2a，则由①得：

(2a?b)?(m2?n2)?a?2bm2?a， (2a?b)?(m2?n2)?a?2bn2?a，

归海木心 qq:634102564

归海木心 qq:634102564

aa?m2?n2?，???③????????????7分

2a?b2a?b222?f??(m2?n2)?从而，

2a?ba2a?b因为2a?b?0，所以有即f的值域为?2??2。??????????????????????????????9分 ,?2a?b2a?b??(2) 若2a?b?0，即b?2a，则由①得：

(2a?b)n2?a?(b?2a)?m2?a，??④

即n?2a，??⑤

2a?b2再由④可知：m可取任意的非负实数（?b?2a?0），???????????????????11分

22?2a?(b?2a)?m2?22b22??22所以f??(m?n)???m?????m2???， ?13?aa?2a?b?2a?b??2a?ba2a?b分

故f的值域为?,???。????????????????????????????????????14

2a?b??分

综合(1)和(2)得：

当b?2a时，f?x?y的值域为?； ,?2a?b2a?b??当b?2a时，f?x?y的值域为?,???。?????????????????????15分

?2a?b?注：①可利用“基本不等式”：xy?2222?2??22??2?122(x?y2)，求得fmin?，建议给3分 22a?b②本题亦可利用三角替换法来求解，做对同样给分。（三角代换法）

归海木心 qq:634102564

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库第二届“南方杯”数学邀请赛十一年级（高二）第2试(2)在线全文阅读。