第11课时 小结与思考

第11课时 小结与思考

预学目标

1．熟练运用勾股定理解决直角三角形中相关边的计算问题，在综合题中通过寻找或构造直角三角形灵活运用勾股定理；当三角形的三边长为勾股数时，能快速判断出它是直角三角形．

2．回顾平方根、算术平方根、立方根的概念，理解平方与开平方、立方与开立方是互逆运算；熟悉正数、负数、0的平方根和立方根的情况，会表示一个非负数的平方根和立方根．

3．熟记无理数和实数的概念，能说出无理数和有理数之间的区别并正确判断一个数是无理数还是有理数．理解实数与数轴上的点之间一一对应的关系，会对实数进行估算和大小比较．

4．理解有理数的运算法则在实数范围内仍然适用，会在实数范围内求相反数、倒数、绝对值，并能对实数进行加、减、乘、除、乘方混合运算．

5．熟记有效数字和近似数的概念，能正确说出近似数的精确度及有效数字，会根据要求取近似值及用科学记数法表示数据． 知识梳理

回忆本章知识并填空：

例题精讲

2 例1 (1)若x?1?1?x??x?y?，则x－y的值为 ( ) A．－1 B．1 C．2 D．3 (2)已知a为实数，那么?a2等于 ( )

A．a B．－a C．－1 D．0 提示：负数没有平方根，因此根号里的数都不能是负数． 解答：(1)C； (2)D． 点评：第(1)题，根号里的x－1和1－x是相反数，而两个数互为相反数只有两种情况：一正一负或两个都为0．因为负数没有平方根，所以它们都必定为0．同理，第(2)题中的－a2也只能是0．

例2 已知8的整数部分是a，小数部分是b，则(－a)3＋(b＋2)2＝______． 提示：先估算出a的值，再确定b的具体数值．

解答：∵4?8?9，即2?8?3，∴a＝2．而8＝a＋b＝2＋b，∴b＝8－2．

1

∴??a???b?2????2??8?2?2??8?8??8?8?0 点评：此题考查估算能力及实数的运算．

例3 已知2a－l的平方根是±3，3a－2b＋l的平方根是±3，求4a－b的算术平方根． 提示：平方和开平方是互逆的运算，由此确定2a－l和3a－2b＋l的值，解方程组求a、b的值．

323??2??2?a?2?2a?1?3解答：由题意，得? ∴? ∴4a?b?4?2?1?3．

b??13a?2b?1?9??点评：此题把平方根和方程组综合起来，关键是先计算±3和±3的平方，再列方程组．

例4 如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝ ∠ECD＝90°，D为AB边上的一点．

求证：(l)△ACE≌△BCD． (2) AD2＋DB2＝DE2．

提示：全等三角形的对应边、对应角相等，第(2)题要用第(1)题的结 论解答．

解答：(1) ∵∠ACB＝∠ECD．

∴∠ACD＋∠BCD＝∠ACD＋∠ACE，即∠BCD＝∠ACE． ∵BC＝AC，DC＝EC，∴△ACE≌△BCD．

(2) ∵△ACB是等腰直角三角形，∴∠B＝∠BAC＝45°． ∵△ACE≌△BCD，∴∠CAE＝∠B＝45°，AE＝DB． ∴∠DAE＝∠CAE＋∠BAC＝45°＋45°＝90°． ∴AD2＋AE2＝DE2．∴AD2＋DB2＝DE2．

点评：第(2)题要说明的结论是勾股定理的形式，显然要寻找含这些边的直角三角形． 例5 如图，在一次数学课外活动中，小明同学在点P处测得点A位于 北偏东60°方向，点B位于南偏东45°方向．小明沿正东方向前进3米到达C 处，此时点A恰好位于正北方向，点B正好位于正南方向．求点A与点B之 间的距离(取3≈1.732，结果精确到0.1米)．

提示：题中的两个三角形都是直角三角形，利用“等角对等边”定理和勾 股定理解决问题，

解答：由题意，得∠ACP＝∠BCP＝90°，∠APC＝30°，∠BPC＝45°． 在Rt△BPC中，∵∠BCP＝90°，∠BPC＝45°，∴BC＝PC＝3．

1 取AP的中点D，连接CD．则DA＝DP＝AP．

21 ∵∠ACP＝90°，DA＝DP，∴CD＝AP．∴CD＝DA．

2 ∵∠ACP＝90°，∠APC＝30°，∴∠A＝60°．

1 ∴△ACD是等边三角形．∴AC＝AD＝AP．

2 设AC＝x，则AP＝2x．∵AC2＋CP2＝AP2，∴x2＋32＝(2x) 2．解得x＝3，即AC＝3． ∴AB＝AC＋BC＝3＋3≈4.7(米)．

答：点A与点B之间的距离大约为4.7米．

点评：此题由中考题改编，考查勾股定理及直角三角形的有关计算，当直角三角形中

2

含有30°、60°或45°的锐角时，已知一边，可以直接或间接地列方程运用勾股定理求另外两边．

热身练习

1．9的算术平方根是_______，(－5)0的立方根是______，16的平方根是______．

2．算术平方根等于本身的数是_______；立方根等于本身的数是______；平方根等于本身的数是_______；一个正数的两个平方根的和是______，商是______．

3．若△ABC的三边长分别为a、b、c，a＝m2－n2，b＝2mn，c＝m2＋n2，则△ABC中最大角的度数是______． 4．一个数的算术平方根是8，则这个数的立方根是______；364的平方根是_______． 5．一个高3米、宽4米的大门，需在相对角的顶点间加一根加固木条，则木条的长为____． 6．若5x＋6的平方根是±1，则x＝_______ ；若“a?8＋(b＋27) 2＝0，则

a?3b?______． 7． 一个正数x的算术平方根是a，那么x＋2的算术平方根是_____，x＋1的立方根是_____． 8．6.5103104精确到______位，有______个有效数字，分别是_______．

9．若x?4＋(y＋6) 2＝0，则x＋y＝_______．

10．一个长方体同一顶点处的三条棱长分别是3、4、12，则这个长方体内能容下的最长木

棒的长度为______．

11．下列运算正确的是 ( )

3?1? A．a2a＝a B．(π－3.14)＝1 C．??＝－2 D．9＝±3

?2?3

2

6

0

?112．下列三角形中，是直角三角形的是 ( )

13．如图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成

的，在Rt△ABC中，若直角边AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图②所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长(图②中的实线)是______．

3

14．如图，在直线l上依次摆放着七个正方形，其中，斜放置的三个正方形的面积分别是

1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝______． 15．估计20的算术平方根在 ( )

A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间

25516．下列运算：①1?1；②14412??4?2??4；③??2?2??2；④1111??? 1625459；⑤3?3?33；其中，错误的有 ( ) 20 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

17．如果直角三角形的三条边长分别为2、4、a，那么a的取值可以有 ( ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

?18．已知12?n是正整数，则实数n的最大值为 ( )

A．12 B．11 C．8 D．3

19．一个三角形三条边的比是3：4：5，则这三条边上的高的比是 ( ) A．3：4：5 B．5：4：3 C．10：8：3 D．20：15：12

20．在△ABC中，∠B＝90°，两直角边AB＝7，BC＝24，三角形内有一点P到各边的

距离相等，则这个距离是______． 21．已知x、y都是实数，且y＝x?2?2?x?3，则xy＝_______． 22．求下面各式的值．

(1)

?3?2?2； (2)?3??5?1????26 ．

2

23．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝17，BC＝16，求△ABC的面积．

24．如图，有一块地，其中AD＝8 m，CD＝6 m，∠ADC＝90°，AB＝26 m，BC＝24 m．求

这块地的面积．

4

参考答案

1．3 1 ±2 2．0和1 0、1和－1 0 0 －1 3．90° 4．4 ±2 5．5米 6．－1 －1 7．a2?2

3a2?1 8．十 4 6、5、1、0 9．－2 10． 13 11．B

12．D 13． 76 14．4 15．C 16．D 17．C 18．B 19．D 20．3 21．8 22． (1) 2－3 (2) 3－25 23．120 24．96m2

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