实验二 LTI 离散系统的频域分析
一、实验目的
1、 利用 Matlab 绘制 LTI 离散系统的零极图；
2、 根据离散系统的零极点分布，分析系统单位响应 h(n) 的时域特性； 3、 利用 Matlab 求解 LTI 离散系统的幅频特性和相频特性。 二、实验原理 1、离散系统的零极点
LTI离散系统可采用(4-1)所示的线性常系数差分方程来描述，其中y(n)为系
统输出信号，x(n)为系统输入信号。
?ay(n?k)??bkk?1m?0NMmx(n?m)
M（4-1）
将上式两边进行z变换得：
?bH(z)?Y(z)/X(z)?j?0Ni?0Mmz?j?azk?iB(z)?A(z)?(1?qzj?1)
（4-2）
?K?(1?pzii?1j?1N?1) 上式中，A(z)和B(z)均为z的多项式，可分别进行式因式分解。c为常数， q j (j＝1，2，…，M)为H(z)的M个零点， pi (i＝1，2，…，N )为H(z)的N个极点。H(z)的零、极点的分布决定了系统的特性，若某离散系统的零、极点已知，则系统函数便可确定。因此，通过对H(z)零极点的分析，可以分析离散系统以下几个方面的特性：
离散系统的稳定性；
系统单位响应h(n)的时域特性；
离散系统的频率特性(幅频响应和相频响应)。 2、离散系统的因果稳定性
离散系统因果稳定的充要条件:系统函数H(z)的所有极点均位于z平面的单位圆内。对于三阶以下的低阶系统，利用求根公式可方便地求出离散系统的极点位置，判断系统的因果稳定性。对于高阶系统，手工求解极点位置则非常困难，这时可利用MATLAB来实现。 3、离散系统的频率响应H(ejω)
H(ej?)?DTFT[h(n)]?H(z)|z?ej??H(ej?)ej????
决定了输出序列与输入序列的幅度之比； H(ejω)称为离散系统的幅频响应，
?(?)称为离散系统的相频响应，决定了输出序列和输入序列的相位之差；
H(ej?)随?而变化的曲线称为系统的幅频特性曲线，?(?)随?而变化的曲线称
为系统的相频特性曲线。
离散系统的频率响应H(ejω)与连续系统的频率响应H(j?)最大区别在于其
呈周期性，且周期为2π。因此，只需分析H(ejω)一个周期或0～2π范围内的情况便可分析出系统的整个频率特性。 4、分析离散系统特性常用的函数
(1) roots()函数 求系统函数的零点和极点位置，调用命令格式如下:
p?roots(A)
A为待求根的关于z的多项式的系数构成的行向量，返回向量p则是包含该多项式所有根位置的列向量。例如多项式为:
A?z2?3z?4
则求该多项式根的MATLAB命令为： A=[1 3 4]; p=roots(A) 运行结果为： p=
-1.5000 + 1.3229i -1.5000 - 1.3229i
注意：求离散系统函数零极点时，系统函数有两种形式，一种是分子和分母多项式均按z的降幂次序排列，如式(4-3)所示；另一种是分子和分母多项式均按 z 的升幂次序排列，如式(4-4)所示。上述两种方式在构造多项式系数向量时稍有不同。
z3?2z H(z)?4 32（4-3） z?3z?2z?2z?11?z?1 H(z)?
1?11?21?z?z24（4-4）
若H(z)是以z的降幂形式排列，则系数向量一定要由多项式的最高幂次开始，
一直到常数项，缺项要用0补齐。例如对式(4-3)所示的系统函数 分子多项式的系数向量为：b = [1 0 2 0] (缺项用0补齐) 分母多项式的系数向量为：a = [1 3 2 2 1]
若H(z)是以z的升幂形式排列，则分子和分母多项式系数向量的维数一定要相同，不足的要用0补齐，否则z=0的零点或极点就可能被漏掉。例如对式(4-4)所示的系统函数
分子多项式系数向量应为 b = [1 1 0] (缺项用0补齐，以保证分子分母系数向量维数相同) 分母多项式系数向量应为 a = [1 0.5 0.25] 用roots()函数求得系统函数H(z)的零极点后，就可以用plot命令在复平面上绘制出系统函数的零极点图，方法是在零点位置标以符号“×”，而在极点位置标以符号“o”。
(2) zplane()函数 应用zplane函数可以得到系统函数H(z)的零极点分布图，其调用格式为：
zplane(b,a)
b和a分别表示H(z)的分子和分母多项式的系数向量，函数的作用是在z平面上画出单位圆，零点和极点。 (3) impz()函数
根据H(z)零极点分布，绘制系统的单位响应h(n)的序列波形，其调用格式如下：
impz(b,a)： b，a 表示 H(z)的分子和分母多项式的系数向量。
impz(b,a,N)： b，a 的含义同上，N 为显示样本的个数。
例如：系统函数为H(z)?b=[1]; a=[1 -1]; impz(b, a)
1，求系统的h(n)的序列波形，代码如下： z?1(4) freqz()函数 计算离散系统频率响应的数值，再利用函数abs()、angle()及 plot()函数，可绘制出系统在 0 ~?或 0 ~ 2?范围内的幅频特性曲线和相频特性曲线。freqz()的调用格式有：
[H,w]=freqz(b,a,N)
b，a 表示 H(z)的分子和分母多项式的系数向量，N 为正整数。返回向量 H 包含了离散系统频率响应H(ejω)在0~?范围内N个频率值，向量w则包含0~?范围内的N个频率等分点。如果在调用中N缺省，则系统默认为N=512。
[H,w]=freqz(b,a,N,’whole’)
计算离散系统在 0 ~ 2?范围内N个频率点的频率响应值。 三、实验内容
1、编写 MATLAB 程序，绘出下列系统函数的零极点分布图、以及对应的时域单位取样响应 h(n)的波形，判断系统因果稳定性。
(1)
, (2), (3), 111H1(z)?H2(z)?H3(z)?2z?0.8z?0.8z?1.2z?0.72,(6) z, (5) zz,
H4(z)?H5(z)?2H6(z)?z?1z?1.6z?1z?1.2
zH7(z)?2z?2z?1.36(4)
(7)
2、某数字滤波器( 或离散系统)，其差分方程为y(n)-0.9y(n-8)= x(n)-x(n-8)，试计算该系统在0~2?范围内的频率响应(取400点)，绘出系统在0~2?范围内的幅频特性曲线和相频特性曲线，分析系统的功能。
提示：(1)对差分方程先进行Z变换，得到系统函数H(z)，再调用函数 freqz 函数计算频率响应值；(2)调用函数abs()、angle()和plot()在0~2?范围内绘制出系统的幅频特性曲线和相频特性曲线。 四、实验步骤 1、
（1）程序如下：
b=[0 1];a=[1 -0.8]; subplot(2,1,1); zplane(b,a); subplot(2,1,2); impz(b,a);
结果如下：
1Imaginary Part0.50-0.5-1-3-2-101Real PartImpulse Response231 Amplitude0.500510152025n (samples)303540是因果稳定系统。
（2）程序如下：
b=[0 1];a=[1 0.8]; subplot(2,1,1); zplane(b,a); subplot(2,1,2); impz(b,a);
结果如下：
1Imaginary Part0.50-0.5-1-3-2-101Real PartImpulse Response231 Amplitude0.50-0.5-10510152025n (samples)303540是因果稳定系统。
（3）程序如下：
b=[0 0 1];a=[1 -1.2 0.72]; subplot(2,1,1); zplane(b,a); subplot(2,1,2); impz(b,a);
结果如下：
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