Kpogpa高等数学公式(费了好大的劲)(3)

1、正项级数的审敛法——根植审敛法（柯西判别法）：???1时，级数收敛?设：??limnun，则???1时，级数发散n?????1时，不确定?2、比值审敛法：???1时，级数收敛U?设：??limn?1，则???1时，级数发散n??Un???1时，不确定?

3、定义法：sn?u1?u2???un;limn??sn存在，则收敛；否则发交错级数u1?u2?u3?u4??(或?u1如果交错级数满足??u?n?un?1?limn??un?0，那么级数收敛且其和?绝对收敛与条件收敛：

(1)u1?u2???un??，其中un为任意实数；(2)u1?u2?u3???un??如果(2)收敛，则(1)肯定收敛，且称为绝对如果(2)发散，而(1)收敛，则称(1)为条件收敛级数。调和级数：?1(?1)nn发散，而?n收敛；　　级数：?1n2收敛；　　p级数：?1ｐ?１时发散np　　p?1时收敛幂级数：

散。u2?u3??,un收敛级数；0)的审敛法——莱布尼兹定理：s?u1,其余项rn的绝对值 rn?un?1。?? 1x?1时，收敛于1?x1?x?x2?x3???xn??　　x?1时，发散对于级数(3)a0?a1x　?a2x2???anxn??，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全x?R时收敛数轴上都收敛，则必存在R，使x?R时发散，其中R称为收敛半径。x?R时不定求收敛半径的方法：设liman?1n??a??，其中an，an?1是(3)的系数，则n函数展开成幂级数：

函数展开成泰勒级数：f(x)?f(xf??(x0)20)(x?x0)?2!(x?x0)?f(n?1)余项：R(?)n?(n?1)!(x?x?10)n,f(x)可以展开成泰勒级数的充要条件是：x?0时即为麦克劳林公式：f(x)?f(0)?f?(0)x?f??(0)202!x?一些函数展开成幂级数：

(1?x)m?1?mx?m(m?1)2!x2???m(m?1)?(m?n?1)nn!x??x32n?1sinx?x?3!?x55!???(?1)n?1x(2n?1)!??　　　(???x???)欧拉公式：

?eix?e?ixcosx?eix?cosx?isinx　　　或???2?ix?ix sinx?e?e??2三角级数：

t)?A??Aa?f(00?nsin(n?t??n)??n?12?(ancosnx?bnsinnx)n?1其中，a0?aA0，an?Ansin?n，bn?Ancos?n，?t?x。正交性：1,sinx,cosx,sin2x,cos2x?sinnx,cosnx?任意两个不同项的乘积上的积分＝0。傅立叶级数：

??0时，R?1???0时，R???????时，R?0?f(n)(x0)n!(x?xn0)??limn??Rn?0f(n)(0)n!xn??(?1?x?1)

在[??,?]???　　　 a0?f(x)???(ancosnx?bnsinnx)，周期?2?2n?1??1(n?0,1,2?)?an??f(x)cosnxdx　　　????其中???b?1f(x)sinnxdx　　　(n?1,2,3?)?n?????11?21?2?2???111?21?2?2?2???（相加）　3511122?42?62?正弦级数：an余弦级数：bn2l的周期函数的傅立叶级数：8234??2241?11122?32?42??0，b2?n???f(x)sinnxdx　　00，a2?n???f(x)cosnxdx　　0

6?2?12（相减）n?1,2,3?n?0,1,2?f(x)??bnsinnx是奇函数f(x)?a02??ancosnx是偶函数???　　

周期为

f(x)?a?02??(an?xn?xncos?bnsin)，周期?2ln?1ll??a1ln?xn??f(x)cosdx　　　(n?0,1,2?)

其中??l?ll?1l?b?f(x)sinn?xdx　　　(n?1,2,3??nl?)?ll微分方程的相关概念：

一阶微分方程：y??f(x,y)　或　P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化为g(y)dy?f(x)dx的形式，解法：?g(y)dy??f(x)dx　　得：G(y)?F(x)?C称为隐式通解。齐次方程：一阶微分方程可以写成dydx?f(x,y)??(x,y)，即写成yx设u?yx，则dydx?u?xdudx，u?dudx??(u)，?dxx?du?(u)?u分离变量，积分后将即得齐次方程通解。一阶线性微分方程：

1、一阶线性微分方程：dydx?P(x)y?Q(x)当Q(x)?0时,为齐次方程，y?Ce??P(x)dx

当Q(x)?0时，为非齐次方程，y?(?Q(x)e?P(x)dxdx?C)e??P(x)dx2、贝努力方程：dydx?P(x)y?Q(x)yn，(n?0,1)全微分方程：

如果P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0中左端是某函数的全微分方程，即：du(x,y)?P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0，其中：?u?u?x?P(x,y)，?y?Q(x,y)

?u(x,y)?C应该是该全微分方程的通解。二阶微分方程：

d2ydx2?P(x)dydx?Q(x)y?f(x)，f(x)?0时为齐次f(x)?0时为非齐次 二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：

(*)y???py??qy?0，其中p,q为常数；求解步骤：1、写出特征方程：(?)r2?pr?q?0，其中r2，r的系数及常数项恰好是2、求出(?)式的两个根r1,r2

yx代替u，(*)式中y??,y?,y的系数；的函数，解法： 3、根据r1,r2的不同情况，按下表写出(*)式的通解：r1，r2的形式 两个不相等实根(p2?4q?0) 两个相等实根(p2?4q?0) 一对共轭复根(p2?4q?0) (*)式的通解 y?c1er1x?c2er2x y?(c1?c2x)er1x y?e?x(c1cos?x?c2sin?x) r1???i?，r2???i?4q?p2 p???，??22二阶常系数非齐次线性微分方程

y???py??qy?f(x)，p,q为常数f(x)?e?xPm(x)型，?为常数；f(x)?e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]型

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