定积分习题及答案

第五章 定积分

(A层次)

?201．?sinxcosxdx； 2．?x03a2a?xdx； 3．?223dxx211?x2；

4．?7．?1?1xdx5?4xdx； 5．?4dxx?11； 6．?341dx1?x?1；

e21x1?lnx?4； 8．??dx； 9．?01?cos2xdx； ?2x2?2x?2032xsinxdx；10．?xsinxdx； 11．?2?4cosxdx； 12．?4

?5x?2x2?1???2?454lnx1xdx13．??； 14．； 15．dxxarctgxdx； ?2?10sinxx4?3?16．?2e2xcosxdx； 17．?0?0?xsinx?dx； 18．?sin?lnx?dx；

21e?3??019．?2?cosx?cosxdx； 20．?44?sinxxsinxdx； dx； 21．?01?cos2x1?sinx22．?1202??1?x1?xxlndx； 23．?dx； 24．?2lnsinxdx； 40??1?x1?x?25．? (B层次)

??0?dxdx???0?。

1?x21?x????1．求由?edt??costdt?0所决定的隐函数y对x的导数

00ytxdy。 dx2．当x为何值时，函数I?x???te?tdt有极值？

2x03．

dcosx2cos?tdt。

dx?sinx???x?1,x?12?4．设f?x???12，求?f?x?dx。

0x,x?1??25．lim2??arctgtdt?0xx???x?12。

?1x?sinx,0?x??6．设f?x???2，求??x???f?t?dt。

0?其它?0,?1,当x?0时??1?x7．设f?x????1,当x?0时??1?ex，求?f?x?1?dx。

028．lim1n??n2?n?n2n???n2。

kn2kn?9．求lim?n??k?1e。

1n?ne10．设f?x?是连续函数，且f?x??x?2?f?t?dt，求f?x?。

011．若?2ln2xdte?1?12t??61，求x。

12．证明：2e???212e?xdx?2。

2???x?a?2?2x13．已知lim??4xedx，求常数a。 ??ax???x?a??2??1?x,14．设f?x????x??e,xx?0x?0，求?f?x?2?dx。

1315．设f?x?有一个原函数为1?sinx，求?2xf??2x?dx。

2?016．设f?x??ax?b?lnx，在?1,3?上f?x??0，求出常数a，b使?f?x?dx最

13小。

17．已知f?x??e?x2，求?f??x?f???x?dx。

02100118．设f?x??x2?x?f?x?dx?2?f?x?dx，求f?x?。 19．??0?f?cosx?cosx?f??cosx?sinx?dx。

220．设x?0时，F?x???x2?t2f???t?dt的导数与x2是等价无穷小，试求

0x??f???0?。 (C层次)

1．设f?x?是任意的二次多项式，g?x?是某个二次多项式，已知

?10f?x?dx?b?1??1?，求????f0?4f?f1g?x?dx。 ?????a6??2??2．设函数f?x?在闭区间?a,b?上具有连续的二阶导数，则在?a,b?内存在?，

b?a?b?13使得?f?x?dx??b?a?f???b?a?f?????。 ?a?2?243．f?x?在?a,b?上二次可微，且f??x??0，f???x??0。试证

?b?a?f?a???af?x?dx??b?a?f?b??f?a?。

b24．设函数f?x?在?a,b?上连续，f??x?在?a,b?上存在且可积，f?a??f?b??0，试证f?x??1bf??x?dx(a?x?b)。 ?a211005．设f?x?在?0,1?上连续，?f?x?dx?0，?xf?x?dx?1，求证存在一点x，

0?x?1，使f?x??4。

6．设f?x?可微，f?0??0，f??0??1，F?x???tfx2?t2dt，求lim0x?0x??F?x?。 4x7．设f?x?在?a,b?上连续可微，若f?a??f?b??0，则

f?x?dx?maxf??x?。 ??b?a?2aa?x?b4b8．设f?x?在?A,B?上连续，A?a?b?B，求证lim?k?0baf?x?k??f?x?dx

k?f?b??f?a?。

9．设f?x?为奇函数，在???,???内连续且单调增加，F?x????x?3t?f?t?dt，

0x证明：(1)F?x?为奇函数；(2)F?x?在?0,???上单调减少。

10．设f?x?可微且积分??f?x??xf?xt??dt的结果与x无关，试求f?x?。

0111．若f???x?在?0,??连续，f?0??2，f????1，证明：

??f?x??f???x??sinxdx?3。

0?12．求曲线y???t?1??t?2?dt在点(0,0)处的切线方程。

0x13．设f?x?为连续函数，对任意实数a有

????a?asinxf?x?dx?0，求证

f?2??x??f?x?。

14．设方程2x?tg?x?y???x?y0d2ysectdt，求2。

dx215．设f?x?在?a,b?上连续，求证：

h?0lim?1x?f?t?h??f?t??dt?f?x??f?a?(a?x?b) h?ax2?1?x?016．当x?0时，f?x?连续，且满足?f?t?dt?x，求f?2?。

17．设f?x?在?0,1?连续且递减，证明

??f?x?dx??f?x?dx，其中???0,1?。

001?18．设f??x?连续，F?x???f?t?f??2a?t?dt，f?0??0，f?a??1，试证：

0xF?2a??2F?a??1。

19．设g?x?是?a,b?上的连续函数，f?x???g?t?dt，试证在?a,b?内方程

axg?x??f?b??0至少有一个根。 b?axxab20．设f?x?在?a,b?连续，且f?x??0，又F?x???f?t?dt??(1)F??x??2 (2)F?x??0在?a,b?内有且仅有一个根。 21．设f?x?在?0,2a?上连续，则?2a01 dt，证明：

f?t?f?x?dx???f?x??f?2a?x??dx。

0a22．设f?x?是以?为周期的连续函数，证明：

?0?sinx?x?f?x?dx??0?2x???f?x?dx。

2??

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