高中数学人教B版必修2同步练习：2.3.3直线与圆的位置关系(2)

解法二：(几何法)

|2m－1－m－1||m－2|

由已知得圆心坐标为(2,1)，半径r＝2，圆心到直线mx－y－m－1＝0的距离d＝＝，

1＋m21＋m24

当d＝2，即m＝0或－时，直线与圆相切；

34

当d>2，即－

34

当d<2，即m>0或m<－时，直线与圆相交．

3

9．求证：不论k为何值，直线l：kx－y－4k＋3＝0与曲线C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0恒有两个交点． [解析] 解法一：将直线l与曲线C的方程联立，得

??kx－y－4k＋3＝0， ①?2 2

?x＋y－6x－8y＋21＝0， ②?

消去y，得(1＋k2)x2－2(4k2＋k＋3)x＋2(8k2＋4k＋3)＝0.

③

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k－?2＋?>0， ∵Δ＝4(4k2＋k＋3)2－8(1＋k2)(8k2＋4k＋3)＝12k2－8k＋12＝12???3?9

??∴方程③有两相异实数根，

因而方程组有两个解，即说明直线l与曲线C恒有两交点． 解法二：当k变化时，由l：k(x－4)＋3－y＝0可知，直 线l恒过定点A(4,3)，曲线C是半径r＝2， 圆心为C(3,4)的圆．

∵|AC|＝?4－3?2＋?3－4?2＝2

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