高中数学人教B版必修2同步练习：2.3.3直线与圆的位置关系

2.3.3直线与圆的位置关系

一、选择题

1．若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为( ) A．－1 C．3 [答案] B

[解析] 该题考查圆的标准方程和一般方程的互化，以及圆与直线的关系，属简单题． 圆的圆心为(－1,2)代入直线3x＋y＋a＝0， ∴－3＋2＋a＝0， ∴a＝1.

1

2．如果a2＋b2＝c2，那么直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是( )

2A．相交 C．相离 [答案] C

[解析] 圆的半径r＝1，圆心(0,0)到直线ax＋by＋c＝0的距离d＝

|c||c|22＝1＝4>1.故选C. a＋b|c|

4

B．相切 D．相交或相切 B．1 D．－3

3．(2014·广东揭阳一中阶段测试)直线ax－y＋2a＝0与圆x2＋y2＝9的位置关系是( ) A．相离 C．相切 [答案] B

[解析] 直线ax－y＋2a＝0可化为a(x＋2)－y＝0，即直线过定点(－2,0)，又∵定点(－2,0)在圆x2＋y2

＝9的内部，∴直线ax－y＋2a＝0与圆x2＋y2＝9相交．

4．(2014·甘肃高台一中月考)圆x2＋y2－4y＋3＝0与直线22x＋y＋b＝0相切，正实数b的值为( ) 1A. 2C．22－1 [答案] B

|0＋2＋b|

[解析] 圆x2＋y2－4y＋3＝0的圆心坐标为(0,2)，半径为1，由题意得＝1，

8＋1∴|2＋b|＝3，又∵b>0，∴b＝1.

5．圆x2＋2x＋y2＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为2的点共有( )

B．1 D．3 B．相交 D．不确定

A．1个 C．3个 [答案] C

B．2个 D．4个

[解析] 圆x2＋2x＋y2＋4y－3＝0的圆心C的坐标为(－1，－2)，半径r＝22，如图所示，

圆心C到直线x＋y＋1＝0的距离为2，故过圆心C与直线x＋y＋1＝0平行的直线l与圆的两个交点A、B到直线x＋y＋1＝0的距离为2.又圆的半径r＝22，故过圆心C作直线x＋y＋1＝0的垂线，并延长与圆的交点C′到直线x＋y＋1＝0的距离为2，故选C.

6．圆x2＋y2－4x＝0，在点P(1，3)处的切线方程为( ) A．x＋3y－2＝0 C．x－3y＋4＝0 [答案] D

[解析] 点(1，3)在圆x2＋y2－4x＝0上，

∴点P为切点，从而圆心与P的连线应与切线垂直， 0－3又∵圆心为(2,0)，∴·k＝－1，

2－1解得k＝

3， 3

B．x＋3y－4＝0 D．x－3y＋2＝0

即切线方程为x－3y＋2＝0. 二、填空题

7．圆x2＋y2＝16上的点到直线x－y＝3的距离的最大值为________． 32

[答案] 4＋

2

[解析] 圆心到直线x－y＝3的距离为

332＝，

22

32∴圆心x2＋y2＝16上的点到直线x－y＝3的距离的最大值为4＋. 2

8．(2014·重庆文，14)已知直线x－y＋a＝0与圆心为C的圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0相交于A、B两点，且AC⊥BC，则实数a的值为________．

[答案] 0或6

[解析] 本题考查直线与圆的位置关系． 圆C(x＋1)2＋(y－2)2＝9， 如图．

∵AC⊥BC，∴AB＝32.

32

又C(－1,2)，∴点C到AB的距离d＝，

2即

32|－1－2＋a|

＝，∴a＝0或6. 22

三、解答题

9．(2014·辽宁大连第二中学高一期末测试)已知圆C和y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且被直线y＝x截得的弦长为27，求圆C的方程．

a

|a－|32a

[解析] 由题意可设圆心坐标为(a，)，圆的半径R＝|a|，由题意得()＋(7)2＝a2，

32∴a2＝9，a＝±3.

故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.

一、选择题

1．与圆x2＋(y－2)2＝2相切，且在两坐标轴上截距相等的直线有( ) A．6条 C．3条 [答案] C

[解析] 在两轴上截距相等，分两种情形：

①过原点，截距都是0，设为y＝kx，由(0,2)到y＝kx距离为2， ∴

2

＝2，∴k＝±1. 1＋k2B．4条 D．2条

②不过原点设截距均为a，则方程为x＋y＝a. |2－a|

同样可得：＝2，∴a＝4，共有3条．

2

2．圆x2＋y2－4x＋4y＋6＝0截直线x－y－5＝0所得弦长是( )

A.6 C．1 [答案] A

[解析] 圆心C(2，－2)，半径r＝2， |2＋2－5|2弦心距＝，

22∴弦长为2

?2?2－?

2?2

＝6. ?2?

52B. 2D.2

3．过点(2,1)的直线中，被圆x2＋y2－2x＋4y＝0截得的弦为最短的直线的方程为( ) A．3x－y－5＝0 C．3x－y－1＝0 [答案] B

[解析] 经过点(2,1)的直线中，被圆x2＋y2－2x＋4y＝0截得的最短的弦是与过该点的直径垂直的直线， 1－?－2?已知圆心(1，－2)，故过(2,1)的直径的斜率为k＝＝3，因此与这条直径垂直的直线的斜率为－

2－111

，其方程为y－1＝－(x－2)，即为x＋3y－5＝0. 33

5

4．过坐标原点且与圆x2＋y2－4x＋2y＋＝0相切的直线方程为( )

21

A．y＝－3x或y＝x

31

C．y＝－3x或y＝－x

3[答案] A

5

[解析] 设所求直线方程为y＝kx，圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋1)2＝，∴圆心为(2，－1)，半径r＝2＝

|2k＋1|10101

，由题意，得2＝，解得k＝－3或. 223k＋1二、填空题

5．自点A(－1,4)作圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的切线，则切线长等于________． [答案] 3

[解析] 设切线长为l，圆心C(2,3)，|AC|＝10， 圆的半径r＝1，∴l2＝|AC|2－r2＝9，∴l＝3.

6．过点(－1，－2)的直线l被圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0截得的弦长为2，则直线l的斜率为________． [答案]

17

或1 7

52

1

B．y＝3x或y＝－x

31

D．y＝3x或y＝x

3B．x＋3y－5＝0 D．x＋3y－1＝0

[解析] 本题考查直线与圆的综合知识，转化与化归的数学思想，“充分利用直角三角形”是关键． 设直线斜率为k，则直线方程为y＋2＝k(x＋1)即kx－y＋k－2＝0，

圆的方程可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心(1,1)，半径r＝1，由弦长为2，圆心到直线距离为d＝|k－1＋k－2||2k－3|?2k－3?212217222

＝，则r＝d＋()，即：＝，7k－24k＋17＝0，所以k＝或k＝1.

2271＋k2k2＋11＋k2三、解答题

7．求满足下列条件的圆x2＋y2＝4的切线方程： (1)经过点P(3，1)； (2)经过点Q(3,0)； (3)斜率为－1.

[解析] (1)∵(3)2＋12＝4，∴点P(3，1)在圆上， 故所求切线方程为3x＋y＝4. (2)∵32＋02>4，∴点Q在圆外．

设切线方程为y＝k(x－3)，即kx－y－3k＝0. ∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径， ∴|－3k|

2

＝2，k＝±5，

51＋k22

∴所求切线方程为y＝±5(x－3)，

5即2x±5y－6＝0.

(3)设圆的切线方程为y＝－x＋b，代入圆的方程，整理得 2x2－2by＋b2－4＝0，∵直线与圆相切， ∴Δ＝(－2b)2－4×2(b2－4)＝0.解得b＝±22. ∴所求切线方程为x＋y±22＝0.

8．当m为何值时，直线mx－y－m－1＝0与圆x2＋y2－4x－2y＋1＝0相交、相切、相离？ [解析] 解法一：(代数法)

?y＝mx－m－1?

由?22，得 ?x＋y－4x－2y＋1＝0?

(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0， Δ＝4m(3m＋4)，

4

当Δ＝0，即m＝0或－时，直线与圆相切，

34

当Δ>0时，即m>0或m<－时，直线与圆相交，

34

当Δ<0，即－

3

解法二：(几何法)

|2m－1－m－1||m－2|

由已知得圆心坐标为(2,1)，半径r＝2，圆心到直线mx－y－m－1＝0的距离d＝＝，

1＋m21＋m24

当d＝2，即m＝0或－时，直线与圆相切；

34

当d>2，即－

34

当d<2，即m>0或m<－时，直线与圆相交．

3

9．求证：不论k为何值，直线l：kx－y－4k＋3＝0与曲线C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0恒有两个交点． [解析] 解法一：将直线l与曲线C的方程联立，得

??kx－y－4k＋3＝0， ①?2 2

?x＋y－6x－8y＋21＝0， ②?

消去y，得(1＋k2)x2－2(4k2＋k＋3)x＋2(8k2＋4k＋3)＝0.

③

18

k－?2＋?>0， ∵Δ＝4(4k2＋k＋3)2－8(1＋k2)(8k2＋4k＋3)＝12k2－8k＋12＝12???3?9

??∴方程③有两相异实数根，

因而方程组有两个解，即说明直线l与曲线C恒有两交点． 解法二：当k变化时，由l：k(x－4)＋3－y＝0可知，直 线l恒过定点A(4,3)，曲线C是半径r＝2， 圆心为C(3,4)的圆．

∵|AC|＝?4－3?2＋?3－4?2＝2

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