2015年02月12日博佳教育的高中数学组卷

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之。

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2015年02月12日博佳教育的高中数学组卷

一．填空题（共4小题） 1．（2014?南昌一模）曲线 2．（2014?威海一模）函数f（x）=x﹣2lnx的单调减区间是 _________ ． 3．（2014?肇庆二模）函数y=xe的极小值为 _________ ． 4．（2012?黑龙江）设函数（fx）= 二．解答题（共6小题） 5．（2015?河南二模）设a为实数，函数f（x）=e﹣2x+2a，x∈R． （1）求f（x）的单调区间及极值； （2）求证：当a＞ln2﹣1且x＞0时，ex＞x2﹣2ax+1． 6．（2014?武汉模拟）己知函数f（x）=xe （Ⅰ）求f（x）的极小值和极大值； （Ⅱ）当曲线y=f（x）的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围． 7．（2013?广东）设函数f（x）=（x﹣1）e﹣kx（k∈R）． （1）当k=1时，求函数f（x）的单调区间； （2）当时，求函数f（x）在[0，k]上的最大值M． x22﹣x以点（1，﹣）为切点的切线的倾斜角为 _________ ． 2x的最大值为M，最小值为m，则M+m= _________ ． x8．（2013?湖南）已知函数f（x）= ． （Ⅰ）求f（x）的单调区间； （Ⅱ）证明：当f（x1）=f（x2）（x1≠x2）时，x1+x2＜0． 29．（2013?天津）已知函数f（x）=xlnx． （Ⅰ）求函数f（x）的单调区间； （Ⅱ）证明：对任意的t＞0，存在唯一的s，使t=f（s）． （Ⅲ）设（Ⅱ）中所确定的s关于t的函数为s=g（t），证明：当t＞e时，有10．（2012?山东）已知函数 在点（1，f（1））处的切线与x轴平行． （Ⅰ）求k的值； ?2010-2015 jyeoo.com

2 ． 为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x）

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www.jyeoo.com （Ⅱ）求f（x）的单调区间； （Ⅲ）设g（x）=xf′（x），其中f′（x）为f（x）的导函数．证明：对任意x＞0，g（x）＜1+e． ﹣2 ?2010-2015 jyeoo.com

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2015年02月12日博佳教育的高中数学组卷

参考答案与试题解析

一．填空题（共4小题） 1．（2014?南昌一模）曲线

以点（1，﹣）为切点的切线的倾斜角为 45° ．

考点： 导数的几何意义． 专题： 计算题． 分析： 根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，得到切线的斜率，从而求出切线的倾斜角． 2解答： 解：y′=x，当x=1时，y′=1，从而切线的倾斜角为45°，故答案为45°． 点评： 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查运算求解能力，属于中档题． 2．（2014?威海一模）函数f（x）=x﹣2lnx的单调减区间是 （0，1） ． 考点： 利用导数研究函数的单调性． 专题： 计算题；导数的概念及应用． 分析： 2依题意，可求得f′（x）=，由f′（x）＜0即可求得函数f（x）=x﹣2lnx的单调减区2

间． 2解答： 解：∵f（x）=x﹣2lnx（x＞0）， ∴f′（x）=2x﹣==， 令f′（x）＜0由图得：0＜x＜1． 2∴函数f（x）=x﹣2lnx的单调减区间是（0，1）． 故答案为（0，1）． 点评： 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查解不等式的能力，属于中档题． 3．（2014?肇庆二模）函数y=xe的极小值为

x

．

考点： 利用导数研究函数的极值． 专题： 计算题． 分析： 求导函数，确定函数的单调性，即可求得函数的极小值． xx解答： 解：求导函数，可得y′=e+xe，令y′=0可得x=﹣1 令y′＞0，可得x＞﹣1，令y′＜0，可得x＜﹣1 ∴函数在（﹣∞，﹣1）上单调减，在（﹣1，+∞）上单调增 ∴x=﹣1时，函数y=xe取得极小值，极小值是故答案为：． x． ?2010-2015 jyeoo.com

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www.jyeoo.com 点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，属于基础题． 4．（2012?黑龙江）设函数f（x）=

考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用． 专题： 综合题；压轴题． 分析： 函数可化为f（x）==的最大值为M，最小值为m，则M+m= 2 ．

，令，则为奇函数，从而函数最大值与最小值的和． 解答： 解：函数可化为f（x）=令∴，则的最大值与最小值的和为0，由此可得函数f（x）=的=为奇函数 的最大值与最小值的和为0 ∴函数f（x）=的最大值与最小值的和为1+1+0=2 即M+m=2 故答案为：2 点评： 本题考查函数的最值，考查函数的奇偶性，解题的关键是将函数化简，转化为利用函数的奇偶性解题． 二．解答题（共6小题）

5．（2015?河南二模）设a为实数，函数f（x）=e﹣2x+2a，x∈R． （1）求f（x）的单调区间及极值；

x2

（2）求证：当a＞ln2﹣1且x＞0时，e＞x﹣2ax+1． 考点： 利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用． 专题： 计算题；压轴题． x分析： （1）由f（x）=ex﹣2x+2a，x∈R，知f′（x）=e﹣2，x∈R．令f′（x）=0，得x=ln2．列表讨论能求出f（x）的单调区间区间及极值． x2x（2）设g（x）=e﹣x+2ax﹣1，x∈R，于是g′（x）=e﹣2x+2a，x∈R．由（1）知当a＞ln2﹣1时，g′（x）最小值为g′（ln2）=2（1﹣ln2+a）＞0．于是对任意x∈R，都有g′（x）＞0，所以g（x）在R内单调递增．由x2此能够证明e＞x﹣2ax+1． x解答： （1）解：∵f（x）=e﹣2x+2a，x∈R， x∴f′（x）=e﹣2，x∈R． 令f′（x）=0，得x=ln2． 于是当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表： x ln2 （﹣∞，ln2） （ln2，+∞） 0 + f′（x） ﹣ f（x） 单调递减 2（1﹣ln2+a） 单调递增 x

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