《断裂与损伤力学》大作业一(3)

应力强度因子数值计算方法综述

简捷, 高效, 准确, 通用, 工作量少及程序简单等。 五、边界元法

边界单元法属于边界法，只需要把问题所涉及的区域的边界离散化，把三维问题化成二维问题，把二维为题化成一维问题，大大减少了工作量和出错的可能性。当边界上的未知量确定之后，内部点上的未知量可用准确的公式计算出来，其误差和边界计算结果为同一量级。

边界单元法是以Betti互异定理为基础的Somigliana公式作为出发点的一种数值计算方法。下面以平面问题为例说明。

*定义?ij(p,Q)是在p点沿xi方向有一单位位移而在边界S的Q点沿xj方向引起的*力；uij(p,Q)xj是在p点沿xi方向作用一单位力而在边界的Q沿xj方向产生的位移。则在

无体力情况下，对于内点p，由Betti互异定理得Somigliana公式：

**ui(p)????ij(p,Q)uj(Q)dS??uij(p,Q)?j(Q)dS (i,j?1,2)

ss从边界上切割包围p点的一个球表面，然后使球的半径趋于零。随着p点区域边界上的P点而取极限，得边界积分方程：

1**ui(P)????ij(P,Q)uj(Q)dS??uij(P,Q)?j(Q)dS (i,j?1,2 )ss2**?ij(p,Q)和uij(p,Q)xj是无限域内平面问题的已知基本解。对于平面应变情形，其表

达式是：

*uij?11[(3?4?)ln?ij?r,ir,j] (i,j?1,2 )8?(1??)?r*?ij?1?r{[(1?2?)??2r,r,]?(1?2?)(r,inj?r,jni)} (i,j?1,2 )ijij4?(1??)r2?n222式中，r?(x1p?x1Q)?(x2p?x2Q)，r,i??i?r，?ij???xiQ?ji?ji?j

?为剪切弹性模量；n为边界外法向矢。

对于平面应力情形，用?1??1??代替上式中的?。

边界积分方程的核函数一般都很复杂，很难得到精确解，一般采用数值方法，边界单元法是解边界积分方程数值方法之一。它是把边界S划分为m个单元，用各个单元上的结点参数（位移和力）来表示单元上的相应量。例如，将边界S划分为S1,S2,?,Sm个单元，单

应力强度因子数值计算方法综述

元结点取为P1,P2,?,Pm，如图3所示。最简单的情况是把各单元上结点的位移和力近似为常数，则边界积分方程写为

m1**;??1,m ,ui(Pk)??[?j(Ql)?uij(Pk,Ql)dSl?ui(Ql)??ij(Pk,Ql)dSl (i,j?1,2kslsl2l?1

图3

对于每个结点可得到两个线形代数方程，边界积分方程离散后得到2m个方程，而边界上每个结点有两个未知数，共有2m个未知量，线形代数方程组是可解得。解得所有结点值后，就可用公式求出任意内点p的位移。当裂纹尖端附近的位移场建立以后，就可以计算裂纹张开位移、应力以及采用数值外推计算应力强度因子。

有时为了用较少的单元得到较精确的解，不一定设单元的力和位移是常量，可以通过等参变换，使各单元的力和位移用形函数及各结点值表示。

为了能反应裂纹尖端处应力的间结点的裂纹元。

1奇异性，在裂纹尖端可用如图4所示的1/4点作为中r应力强度因子数值计算方法综述

图4

如果裂纹体含有内裂纹，裂纹面与物体的边界不相交，划分单元时，必然要从裂纹尖端到外边界划分出内部边界，在内部边界上必须满足位移和力的连续条件。

边界单元法的缺点是方程组系数组成的矩阵式一个非对称的几乎完全稠密的矩阵。 六、小结

综上所述，本文介绍了裂纹尖端应力强度因子的一些主要数值计算方法：边界配置法、权函数法、有限元法、加权残差法以及边界元法，并简要阐述了这几种数值算法的原理、适用范围以及优缺点等。

参考文献

[1]王铎.断裂力学.哈尔滨工业大学出版社,1989. [2]尹双增.断裂损伤理论及应用.清华大学出版社,1992. [3]沈成康.断裂力学.同济大学出版社,1996. [4]王自强.陈少华.高等断裂力学.科学出版社,2009. [5]徐次达.加权残数法解固体力学问题.力学与实践,1980,04.

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