《断裂与损伤力学》大作业一
应力强度因子数值计算方法综述
学 院: 航空宇航学院 专 业: 工程力学 指导教师: 郭树祥 姓 名： 乔 玉 学 号： SX1101098
应力强度因子数值计算方法综述
应力强度因子分析是断裂力学的重要内容之一。一方面要根据构件的几何形状、裂纹尺寸、结构的材料和受载方式去计算构件的K? 、K??和K???值。另一方面，当用标准试样测定材料断裂韧性时，先要确定试件应力强度因子标定公式。
过去四十年内，已经发展了很多有效的确定应力强度因子方法。这些方法总体上可以分为三类：解析法、数值解法和实验方法。对于三维裂纹问题和几何形状比较复杂的二维裂纹问题，往往要用数值解法。
本文将介绍裂纹尖端应力强度因子的一些主要数值计算方法，并阐述了每种数值算法的原理、适用范围以及优缺点等。 一、边界配置法
边界配置法是一种求解二维裂纹问题的近似数值计算方法。对于有限板或裂纹分布复杂的情况，难以选择能满足控制方程和全部边界条件的函数，于是就寻找近似解法。边界配置法的思路是选择满足控制方程和裂纹表面边界条件的函数，该函数在其余边界上仅需满足有限个点的条件，而不是满足这些边界上所有点的条件，从而得到近似解。
下面以三点弯曲试样为例进行说明。 （1）Williams应力函数和应力公式
Williams应力函数:
?j?12?(r,?)??Cj?rj?1j?(?1)jjj[?cos(?1)??2cos(?1)?]j22?12
可以验证，它不仅满足双调和方程：
?4?(r,?)?0
而且也满足在裂纹上、下表面处(????2)?y和?xy均为的边界条件。
如果选择有限宽板边界上足够的点处的边界条件以确定无穷集数中的常数项Cj，就能使此应力函数基本上能满足该板上其他的边界条件。这样应力函数就使所研究问题的近似解。
图1为三点弯曲试件的外形、裂纹位置及坐标系统。
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p W a p 2s 2（1）
p 2s 2 a p 2s 2
（2） 图1
为了计算方便引入无量纲量：Dj?CjBW其中：B-试件厚度,W-试件宽度.
j2p
?(r,?)?pWB?r?D??j???W?j?1?j?12j?(?1)jjj[?cos(?1)??2cos(?1)?]j22?12
从而得到：
?2?p?y?2??xBW?r?Aj????W?j?12?DA(r,?)jjj?1?
jjjjj?{[?2?(?1)j)]cos(?1)??(?1)cos(?3)?]}22222
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?2?p?x?2??yBW?2?p?xy???x?yBW（2）K的计算 针对Ⅰ型裂纹:
?DB(r,?)jjj?1?jj?
?DE(r,?)j?1
?x??y?K???3?cos(1?sinsin)
2222?rK?
??3?cos(1?sinsin)
2222?rK?2?r （r?0）
当??0时. ?y??x? 可以推出：K??lim2?r?y|??0
r?0又因为当??0时, cos??1,当j=1时在乘2?r后与r无关,而当j?2,3,4??时在乘2?r后与r有关,当r?0时都为零。最后得到：
pr?1111K??limD1()2??{(?2?1)?1?(?1)?1}
r?0BWW222??2?pD1 BW可以看出，只要用边界条件确定D1,即可获得K?。在这里，所谓边界是指各边界上各点的应力。 （3）总结
Williams应力函数的边界配置法的优点是计算简单方便，特别适合用于紧凑拉伸、三点弯曲及含中心裂纹的矩形试样。缺点是对于几何形状和载荷稍复杂的情况，应力函数所应满足的边界条件难以确定；收敛性未得到证明，只能取不同数目配置点试算，如果应力强度因子值很接近就以为解是稳定的，并作为所要确定的应力强度因子。另外，配置点的选择对结果也由影响，怎样选择才好，尚无定论，只能进行多次试算。为了得到比较可靠的计算结果，一些学者建议采用边界配置法与最小二乘法相结合的方法来分析，从而得到稳定的收敛结果。
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二、权函数法
权函数方法最早是由Bueckner（1970）提出的，后来Rice等人发展了这种方法，吴学仁和Carlsson（1991）用此方法得到了大量的结果。
应力强度因子与裂纹几何和载荷配置有关。权函数法给出了解耦研究这两类影响的途径。针对任一裂纹几何，均可求出适用于该几何的权函数，该裂纹几何在任意载荷下的应力强度因子（乃至位移场）都可由该载荷经权函数加权积分获得。
以图2中所示模型为例。
图2
根据Betti定理，可得：
?其中：ti??ijnj
Ati(1)ui(2)dA??ti(2)ui(1)dA
A(1)?y(?)?KI(1)(a)/2?? v(2)(?)?a??12GKI(2)(a??)(???)/2? （0????）aKI(1)(a)??1(2)(???)(1)(2)(2)?(x)v(x,a??)dx?K(a??)d????y(x)v(1)(x)dx yI??2?2??2G000展开可得：
??v(2)v(x,a??)?v(x,a)????
?a(2)(2)dKI(2)K(a??)＝K(a）????
da(2)I(2)I
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