高二数学测试题—空间角(2)

∴DM⊥SA．∵BA⊥AD，BA⊥SD，AD∩SD=D，∴BA⊥面ASD，SA是SB在面ASD上的射影．由三垂线定理得DM⊥SB．

∴异面直线DM与SB所成的角为90°．

解2：如图3，取AB中点P，连结MP，DP．在△ABS中，由中位线定理得 MP//SB，??DMP是异面直线DM与SB所成的角．?MP?1SB?22

2

3，又2DM?,DP?22125

1?()?,22∴在△DMP中，有DP=MP+DM2，??DMP?90?

∴异面直线DM与SB所成的角为90°．

17. （满分14分）

解：设AB=i，AD=j，AA1=k，以i，j，k为坐标向量建立空间直角坐标系A—xyz， 则有E（

图3

12，0，1，），F（1，

12，0），M（

12，1，1），N（1，

12，1）.（2分）

（1）∵EF=（∴EF·MN=（

1212，，

1212，-1），MN=（，-1）·（

1212，-

12，0），

12，-，0）=

14-

14+0=0.

∴EF⊥MN，即直线EF与MN的夹角为90°.（6分） （2）由于FN=（0，0，1），MN=（∴FN·MN=0，∴FN⊥MN. ∵EF∩FN=F，∴MN⊥平面ENF.

又MN?平面MNF，∴平面MNF⊥平面ENF.（8分）

（3）在平面NEF中，过点N作NG⊥EF于点G，连结MG，由三垂线定理，得MG⊥EF. ∴∠MGN为二面角N—EF—M的平面角.（12分）

12，-

12，0），

在Rt△NEF中，NG=

EN?NFEF?EN?NFMF22?22?2662?33.

∴在Rt△MNG中，tan∠MGN=

MNNG??33?.

∴二面角M—EF—N的平面角的正切值为

62.（14分）

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