高二数学测试题—空间角

高二数学测试题—空间角 一、选择题 1．a、b为异面直线，二面角M—l—N，a?M，b?N，如果二面角M—l—N的

平面角为?，则a，b所成的角为 （ ）

A．?

B．???

C．?或??? D．???

2．在正方体ABCD—A?B?C?D?中，BC?与截面BB?D?D所成的角为 （ ）

A．

?3 B．

?4 C．

?6 D．arctan2

3．异面直线a、b所成的角为?，a、b与平面?都平行，b?平面?，则直线a与平面?所成角

（ ）

A．与?相等 B．与?互余 C．与?互补 D．与?不能相等．

4．二面角M—l—N的平面角是60?，直线a?平面M，a与棱l所成的角是30?，则a与平

面N所成的角的余弦值是

A．34

22

134（ ）

12 B． C． D．

5．有一山坡，它的倾斜角为30°，山坡上有一条小路与斜坡底线成45°角，某人沿这条小

路向上走了200米，则他升高了 （ ） A．100

2米

B．502米 C．256米 D．506米

6．在长方体ABCD一A1B1C1D1中，B1C和C1D 与底面所成的角分别为60°和 45°，则异面直线 B1C和C1D所成角的余弦值为（ ）

A．

64 B．

63 C．

26 D．

36

7．二面角α-l-β的棱l上有一点P，射线PA在α内，且与棱l成45°角，与面β成30°角

则二面角α-l-β的大小为

A．30°或150° B．45°或135°

（ ）

C．60°或120° D．90°

8．一条直线与平面a成60°角，则这条直线与平面内的直线所成角的取值范围是 （ ）

- -

A．［0°，90°］ B．?0,45???

C．［60°，180°］ D．［60°，90°］

1

9．已知三棱锥D－ABC的三个侧面与底面全等，且AB＝AC＝3，BC＝2，则以BC为棱，以

面BCD与面BCA为面的二面角的大小为 （ ）

10．如图所示，在四面体ABCD中，E、F分别是AC与

BD的中点，若CD = 2AB = 4，EF⊥BA，则EF与CD所成角为 （ ）

A．900 C．600

B．450 D．30

A．arccos

33 B．arccos

31C．

π2 D．

2π3

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）

11．?ABC中?ACB=90?，PA?平面ABC，PA=2，AC=23 ，则平面PBC与平面PAC，平

面ABC所成的二角的大小分别是______、_________．

12．（07全国Ⅱ?理?7题）已知正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦等于————。

13（07浙江?理?16题）已知点O在二面角??AB??的棱上，点P在?内，且

?POB?45?。若对于?内异于O的任意一点Q，都有?POQ?45?，则二面角

??AB??的大小是____

14．若正三棱锥的侧面均为直角三角形，则它的侧面与底面所成二面角的为大小为 三、解答题（共计74分）

15．（本小题满分12分）已知SA⊥平面ABC，SA=AB，AB⊥BC，SB=BC，E是SC的中点，

DE⊥SC交AC于D．

（1） 求证：SC⊥面BDE；

（2） 求二面角E—BD—C的大小．

- -

2

16．（本小题满分12分）如图，四棱锥S—ABCD的底面是边长为1的正方形， SD垂直于底面ABCD，SB=3． （1）求证BC?SC；

（2）求面ASD与面BSC所成二面角的大小；

（3）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的

大小．

- -

3

17.如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1， E、F、M、N分别是A1B1、BC、C1D1、B1C1 的中点.

（I）用向量方法求直线EF与MN的夹角； （II）求直线MF与平面ENF所成角的余弦值； （III）求二面角N—EF—M的平面角的正切值.

- -

4

高二数学测试题—空间角答案 一、选择题

1 C 2、C 3 B 4 C 5、B 6 A 7 B 8 D 9、C 10 D

二、填空题

11、90 ,30 12、

0

0

64

?13、90? 14、arctan2

4解: 设E、F?l,P?M,PF?l,?PEF?30，过P作PQ?N交N于Q，连FQ，则?PFQ是二面角M—l—N的平面角，?PFQ=60，?PFQ是PE与平面N所成的角。设EP=4，则PF=2，PQ=

?3,EQ?EP2?PQ2?13，∴ cos?PFQ=13．

4PMlEFQN

三、解答题（共计74分）

15．(12分) （1）证明：（1）∵SB=BC E是SC的中点 ∴BE⊥SC ∵DE⊥SC∴SC⊥面BDE

（2）解：由（1）SC⊥BD∵SA⊥面ABC∴SA⊥BD∴BD⊥面SAC∴∠EDC为二面角E-BD-C的平面角

设SA=AB=a,则SB=BC=

2a．?在Rt?SBC中,SC?2a,?在Rt?SAC中,?DCE?30,

00?在Rt?DEC中,?EDC?60．

16．(12分) （1）证法一：如，∵底面ABCD是正方形， ∴BC⊥DC． ∵SD⊥底面ABCD，∴DC是SC在平面ABCD上的射影， 由三垂线定理得BC⊥SC．

证法二：如图1，∵底面ABCD是正方形， ∴BC⊥DC．∵SD⊥底面ABCD， ∴SD⊥BC，又DC∩SD=D，∴BC⊥平面SDC，∴BC⊥SC． （2）解：如图2，过点S作直线l//AD,?l在面ASD上， ∵底面ABCD为正方形，?l//AD//BC,?l在面BSC上，

图1

?l为面ASD与面BSC的交线．

?l?SD?AD,BC?SC,?l?SD,l?SC,

∴∠CSD为面ASD与面BSC所成二面角的平面角．（以下同解法一） （3）解1：如图2，∵SD=AD=1，∠SDA=90°，

∴△SDA是等腰直角三角形．又M是斜边SA的中点， - - 5

图2

∴DM⊥SA．∵BA⊥AD，BA⊥SD，AD∩SD=D，∴BA⊥面ASD，SA是SB在面ASD上的射影．由三垂线定理得DM⊥SB．

∴异面直线DM与SB所成的角为90°．

解2：如图3，取AB中点P，连结MP，DP．在△ABS中，由中位线定理得 MP//SB，??DMP是异面直线DM与SB所成的角．?MP?1SB?22

2

3，又2DM?,DP?22125

1?()?,22∴在△DMP中，有DP=MP+DM2，??DMP?90?

∴异面直线DM与SB所成的角为90°．

17. （满分14分）

解：设AB=i，AD=j，AA1=k，以i，j，k为坐标向量建立空间直角坐标系A—xyz， 则有E（

图3

12，0，1，），F（1，

12，0），M（

12，1，1），N（1，

12，1）.（2分）

（1）∵EF=（∴EF·MN=（

1212，，

1212，-1），MN=（，-1）·（

1212，-

12，0），

12，-，0）=

14-

14+0=0.

∴EF⊥MN，即直线EF与MN的夹角为90°.（6分） （2）由于FN=（0，0，1），MN=（∴FN·MN=0，∴FN⊥MN. ∵EF∩FN=F，∴MN⊥平面ENF.

又MN?平面MNF，∴平面MNF⊥平面ENF.（8分）

（3）在平面NEF中，过点N作NG⊥EF于点G，连结MG，由三垂线定理，得MG⊥EF. ∴∠MGN为二面角N—EF—M的平面角.（12分）

12，-

12，0），

在Rt△NEF中，NG=

EN?NFEF?EN?NFMF22?22?2662?33.

∴在Rt△MNG中，tan∠MGN=

MNNG??33?.

∴二面角M—EF—N的平面角的正切值为

62.（14分）

- - 6

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