四川省绵阳南山中学09-10学年高二数学下学期期中考试（理）人教(2)

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绵阳南山中学2010年春季高2011级半期考试

数学试题（理科） 参考答案

选择题答案：1～5 DBCDA 6～10 BACBD 11～12 AC

填空题答案：13. 垂直 14. 60? 15. 7 16. 6

6解答题答案：

17．解：（1）如图，连接A1B，A1C，则截面A1BC即为所求??????????3分

理由如下：

∵ E、F、G分别是AC、AB、AA1的中点，

G ∴ GE//A1C，EF//BC。

由GE?EF?E，A1C?BC?C，

A1 C1

A E C F B B1 ∴ 平面EFG//平面A1CB。 ???????????6分 （2）∵ 此三棱柱是正三棱柱，且各棱长均为a，

∴ A1C?2a，A1B?2a，BC?a，

∴ 截面图形△A1BC是等腰三角形，

a7a． 且底边BC上的高为(2a)2?()2?22∴ ?A1BC的面积为S?A1BC?即截面图形的面积为

1772?a?a?a。 22472a。??????????????????????10分 418．(1)解：过P作PO?平面ABC于O点，

则PO的长就是点P到平面ABC的距离。????????????????1分 由AB?6，AC?8，BC?10 知?ABC是?A?90?的直角三角形????3分 由PA?PB?PC知，点O是?ABC的外心，即BC的中点????????5分 在Rt?POB中，PO?PB2?BO2?11

∴P到平面ABC的距离为11。????????????????????6分

(2)解：连AO，则?PAO就是PA与平面ABC所成的角??????????8分 在Rt?POA中，sin?PAO?PO11?????????????????9分 ?PA611。???????????????10分 6 ∴PA与平面ABC所成的角为arcsin亿库教育网 http://www.eku.cc

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19.（I）证明：在?ABD中，?AB?2,AD?4,?DAB?60?

?BD?AB2?AD2?2AB?2ADcos?DAB?23w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ?AB?BD?AD,?AB?DE 又?平面EBD?平面ABD

平面EBD?平面ABD?BD,AB?平面ABD

222?????????2分

?AB?平面EBD??????????????????????????4分 ?DF?平面EBD,?AB?DE????????????????????5分 （Ⅱ）解：由（I）知AB?BD,CD//AB,?CD?BD,从而DE?D

在Rt?DBE中，?DB?23,DE?DC?AB?2

?S?ABE?1DB?DE?23????????????????????????6分 2 又?AB?平面EBD,BE?平面EBD,?AB?BE ?BE?BC?AD?4,?S?ABE?1AB?BE?4?????????????8分 2 ?DE?BD,平面EBD?平面ABD?ED?，平面ABD 而AD?平面ABD,?ED?AD,?S?ADE?1AD?DE?4 2 综上，三棱锥E?ABD的侧面积，S?8?23??????????10分 20.解：（1）证明：由四边形ABCD为菱形，?ABC?60，知?ABC为正三角形

∵E为BC的中点 ∴AE?BC，又BC//AD ∴AE?AD??????????1分 ∵PA?平面ABCD，AE?平面ABCD ∴PA?AE 而PA?平面PAD，AE?平面ABCD,且PA?AD?A,

∴AE?平面PAD，又PD?平面PAD，∴AE?PD??????????3分 （2）设AB?2，连结AH,EH

由（1）知AE?平面PAD,而AH?PD,∴EH?PD，

则?EHA为EH与平面PAD所成的角。?????????????????? 4分 在Rt?EAH中，AE?3，当AH最小时，即当AH?PD时，?EHA最大，此时

0tan?EHA?AE36因此AH?2， ??AHAH2亿库教育网 http://www.eku.cc

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又AD?2 ∴?ADH?450 ∴PA?2??????????????????? 5分 方法一：PA?平面ABCD，PA?平面PAC， ∴平面PAC?平面ABCD

过E作EO?AC于O，则EO?平面PAC，过O作OS?AF于S，连结ES，则?ESO为二面角E?AF?C的平面角。???????????????????? 6分 在Rt?AOE中，EO?AE?sin30?

又F为的中点，∴?SAO?45在Rt?SOA中，SO?AO?sin45?0033,AO?AE?cos300?22

32, 40又SE?EO2?SO2?3930 ??48432SO15?4?在Rt?ESO中，cos?ESO?SE5304即所求二面角的余弦值为15???????????????????????7分 5方法二：由（1）知两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则：

A?0,0,0?,B????AE???3,?1,0,C??3,1,0,D?0,2,0?,P?0,0,2?,E???31?3,0,0,F??2,2,1?????∴

?????31?3,0,0,AF???2,2,1???????????????????????7分

????设平面AEF的一个法向量为m??x1,y1,z1?，

????????3x1?0?m?AE?0??则??????，因此?3 ?1x1?y1?z1?0???m?AF?0?22??取z1??1，则m??0,2,?1???????????????????????? 8分

∵BD?AC,BD?PA,PA?AC?A，BD?平面AFC

????故BD??3,3,0为平面的法向量。????????????????????6分

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????????????m?BD2?315∴cosm,BD?????????55?12m?BD二面角为锐角，所以所求二面角的余弦值为

w 15???????????????? 7分 51PC?2 2（3）方法一：由（2）得：在Rt?PAC中，PA?AC?2，∴AF?在Rt?PAB中，PA?PB?2,PB?22，∴Rt?PBC中，EF?1PB?2， 2又AE?3,∴S?AEF?又S?AED?15???????????????????????? 8分 411AD?AE?3，点F到平面AED的距离h?PA?1，??????? 9分 22设点D到平面AEF的距离为d，

11∵VF?AED?VD?AEF，∴SAED?h?SAEF?d，

33

SAED?h3?145????????????????????????10分 ??SAEF5154??方法二：由（2）解法2知，平面AEF的一个法向量为m??0,2,?1?????????8分

∴d?????又∵AD??0,2,0???????m?AD445∴点D到平面AEF的距离为d??????????????10分 ????55m其余方法请酌情给分！！

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