中学九年级数学(上)北师大版第一章《证明二》复习教学案

第一讲 全等三角形的性质和判定

知识梳理

1、两边夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）； 2、两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）；

3、两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）； 4三边对应相等的两个三角形全等（SSS）； 5、全等三角形的对应边相等,对应角相等。

6、等腰三角形性质定理： （等边对等角）； 7、推论（三线合一）： ；

8等边三角形判定定理： 。 典例精讲

例1.如图，已知∠D =∠C，∠A =∠B，且AE = BF。求证：AD = BC。 CD

BAEF

例2．如图，在△ABC中，AB = AC，AD⊥AC∠BAC = 100°。 A求∠1、∠3、∠B的度数。 12

3

BCD

例3．如图，在△ABC中，D为AC上一点，并且AB = AD，DB = DC，若∠C = 29°，求∠A。

A

D

BC即学即练

1．填空：

A（1）如图，在△ABC中，AB = AC，点D在AC上，且BD = BC = AD。

请找出所有的等腰三角形 。

（2）等腰三角形的顶角为50°，则它的底角为 。 D（3）等腰三角形的一个角为40°，则另两个角为 。 （4）等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°。 BC2．如图，在△ABC中，AB = AC，D是BC边上的中点，且DE⊥AB，DF⊥AC。

A求证：∠1 =∠2。

EF12巩固与提高

BCD1．在等腰三角形中顶角为40°时底角等于 ，一个底角

为50°，则顶角等于 。

2.等腰三角形的两边分别是7 cm和3 cm，则周长为 。

3.如右图，D在AC上，且AB=BD=DC，∠C=40°，则∠A= ，

∠ABD= 。

A

D

BC

3题图 4题图

4、在△ABC中，AB=AC，D是AB上一点，DE⊥BC，E是垂足，ED的延长线交CA的延长线于点F，求证：AD=AF.

第二讲 等腰三角形的性质和判定

一．知识梳理

1、等腰三角形两个底角的平分线相等； 2、等腰三角形腰上的高相等； 3、等腰三角形腰上的中线相等；

4、两个角相等的三角形是等腰三角形。（等角对等边）

5、推理论证：等腰三角形腰上的中线相等；（画图、写出已知、求证、证明过程）

二、典例精讲

如图，?ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD = CE。求证：?ABC是等腰三角形。 A

DE

BC

三、即学即练

1、如图，在△ABC中，AB = AC，DE∥BC，求证：△ADE是等腰三角形。

DE

A BC

A2、如图，E是△ABC内的一点，AB = AC，连接AE、BE、CE，且BE =

EBDCCE，延长AE，交BC边于点D。求证：AD⊥BC。

四、巩固与提高

1、 如图，∠A =∠B，CE∥DA，CE交AB于E。求证：CE = CB。

DCAEB2、把下列命题用反证法证明时的第一步写出来。

a) 三角形中必有一个内角不少于60度； b) 一个三角形中不能有两个角是钝角； c) 垂直于同一条直线的两条直线平行。

3、如图，在?ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，DE∥BC。求证：△EBD是等

A腰三角形。

E

4、用反证法证明：一个三角形中不能有两个直角。 B

DC

第三讲 等边三角形的判定与性质

一、知识梳理

1、等边三角形的判定

1）三条边都相等的三角形是等边三角形 。 2）三个角都相等的三角形是等边三角形 。

3）有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形。

2、等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质，除此之外，它还具有每个内角都是60°的特殊性质。

3、在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

二、典例精讲

1、 已知：如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，交AB、AC于D、E。

求证：△ADE 是等边三角形。

A

DE

BADE是等边三角C2、如图，△ABC是等边三角形，BD = CE，∠1 =∠2。求证：△AEB1D2C形。

3、如图，在Rt?ABC中，∠B = 30°，BD = AD，BD = 12，求DC的长。

A 30??BDC

三、即学即练 1、填空：

（1）如图1，BC = AC，若 ，则△ABC是等边三角形。

（2）如图2，AB = AC，BC⊥AD，BD = 4，若AB = ，则△ABC是等边三角形。

（3）如图3，在Rt?ABC中，∠B = 30°，AC = 6cm，则AB = ；若AB = 7，则AC = 。

AA A

BC BBCCD

图1 图2 图3

2、如右图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，求证：AE=CD。

巩固与提高 1、填空：

（1）如图1，AB = AC，AD是△ABC的一条中线，AB = 5，若BD = ，则△ABC是等边三角形。

（2）如图2，∠BAC＝120°，AB＝AC，AB＝14，则AD = 。

AABDC图1 图2

2、已知：?ABC中，?ACB?90?，CD?AB，?A?30?，AB = 40，

求DB的长。

BDCC第四讲 直角三角形（一） ADB一．知识梳理

1、直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 2、如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 3、在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。

4、如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。 二、典例剖析

121、如图，BA⊥DA于A，AD = 12，DC = 9，CA = 15，求证：BA∥DC。 A 15

B

2、若直角三角形的三条边长分别是6，8，a，则a=__________。 3、已知：如图，△ABC中，CD⊥AB于D，AC=4，BC=3，DB =9。

5D9C（1）求DC的长；（2）求AD的长；（3）求AB的长； （4）求证：△ABC是直角三角形.

三、即学即练 1、填空：

（1）直角三角形的两直角边为9、12，则斜边为 ；直角三角形的斜边为13，其中一条直角边为5，则另一条直角边为 。

（2）如果一个三角形的三边分别是6、10、8，则这个三角形是 三角形。 2、说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假。 1）初三（6）班有62位同学； 2）等边对等角；

3）对顶角相等； 4）平行四边形的两组对边相等；

5）正方形的四条边都相等；

3、某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图5所示，∠ACB＝90°，AC＝80米，BC＝60米，若线段CD是一条小渠，且D点在边AB上，已知水渠的造价为10元/米，问D点在距A点多远处时，水渠的造价最低？最低造价是多少？ 图5 四、巩固与提高

1、找出下列定理有哪些存在逆定理，并把它找出来。

（1）矩形是平行四边形 。（2）内错角相等，两直线平行。 （3）如果x?y，则x2?y2 。（4）全等三角形对应角相等。

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