《高等数学A》习题册 姓名： 班级： 学号： 26
第六章：定积分的应用
第一节 定积分在几何学上的应用
1． 求由曲线y?x2与直线x?y?2所围成的面积。
2．求由曲线??2acos?所围成图形的面积。
3．求由曲线y?x2与x?y2所围成图形绕x轴旋转而成的旋转体体积。
4．求由圆x2?(y?R)2?r2(r?R)绕x轴旋转一周所得旋转体体积。
5．已知球半径为R，试求高为h的球冠体积（h?R）。
6．求曲线y?x3(3?x)在1?x?3上的一段弧的长度
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7．求曲线??x?etsint自t?0至t???y?etcost2间的一段弧长
第二节 定积分在物理学上的应用
1． 有一弹簧，用5N的力可以把它拉长0.01m，要把弹簧拉长0.4m，
求拉力所作的功
2．设一园锥形贮水池，深15m，口径20m，盛满水，试问要把池内的水全部吸出需作多少功？
3．有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长10m和6m，高为20m，较长的底边与水面相齐，计算闸门的一侧所受的水压力
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第七章 微分方程
第一节 微分方程的基本概念
1. 试说出下列各微分方程的阶数 (1) xy????2y???x2y?0 (2)
d?d????sin2?
2. 指出下列各题中的函数是否为所给的微分方程的解: (1) xy??2y,y?5x2
(2) y???2y??y?0,y?x2ex
3. 在下列各题中,确定函数关系式中所含的参数,使函数满足所给的初始条件: (1) x2?y2?C,yx?0?5
(2) y?(C2x1?C2x)e,yx?0?0,y?x?0?1
4. 曲线上任意一点P(x,y)处法线斜率为x2,求该曲线满足的微分方
程.
第二节 可分离变量的微分方程
1.求下列微分方程的通解
（1）xy??ylny?0 （2）(ex?y?ex)dx?(ex?y?ey)dy?0 2. 求下列微分方程满足所给初始条件的特解：
（1）y??e2x?y,yx?0?0 （2）cosydx?(1?e?x)sinydy?0,y?x?0?4
3.质量为1克的质点受外力作用做直线运动，这外力和时间成正比，和质点运动的速度成反比，在t?10s时，速度等于50cm/s，外力为
4g.cm/s2，问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少？
第三节 齐次方程
1.求齐次方程xy??y?y2?x2?0的通解。
2.求齐次方程y??xyy?x满足初始条件yx?1?2的特解。
第四节 一阶线性微分方程
1.求微分方程xy??y?x2?3x?2的通解。 2.求微分方程
dycosxdx?ycotx?5e满足初始条件y??4的特解。x??23. .求微分方程
dy?13y?1(1?2x)y4dx3的通解。
4.用适当的变量代换将方程
dy1?1化为可分离变量的方程，
然dx?x?y后求出通解。
5.求全微分方程eydx?(xey?2y)dy?0的通解。 6.求伯努利方程
dydx?3xy?xy2
第五节 可降阶的高阶微分方程
1.求下列微分方程的通解
（1）y???xex （2）xy???y??0 （3）yy???2y?2?0
2.求微分方程y???ay?2?0满足所给初始条件yx?0?0,y?x?0??1的特解。
第六节 高阶线性微分方程
1.验证y1?ex2及yx22?xe都是方程y???4xy??(4x2?2)y?0的
解，并写出该方程的通解。 2.验证y?Cx2x5x1e?C2e?112e（C1,C2是任意常数）是方程
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y???3y??2y?e5x的通解。
第七节 常系数齐次线性微分方程
1.求下列微分方程的通解： （1）y???4y??0
（2）y???6y??13y?0 （3）y
(4)
3. 求微分方程y???4y??3y?0满足初始条件
yx?0?6,y?x?0?10的特解。
?y?0
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第八节 常系数非齐次线性微分方程
1.填空：
（1）已知y*是y???2y??3y?f(x)的一个特解，则此方程的通解为y=______________;
（2）微分方程y???2y??y?0的通解是y=______________。 2.求下列微分方程的通解： （1）2y???y??y?2ex；
（2）2y???5y??5x2?2x?1；
（3）y???2y??5y?exsin2x
3.求微分方程y???y?cosx?2的特解。
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