高考复习高考复习中恒成立问题的解题技巧与策略

. . . .

. . .

高考复习中恒成立问题的解题技巧与策略

贵州省龙里中学 洪其强（551200）

高三数学复习中的恒成立问题，特别是含参数不等式的恒成立问题，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此也成为近几年高考和竞赛的一个热点。下面结合实例，介绍这类问题的几种求解策略。

一、主元变更转化法：

给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于

?a?0?a?0?f(m)?0或ⅱ）?亦可合并定成?

?f(m)?0?f(n)?0?f(n)?0?f(m)?0同理，若在[m,n]内恒有f(x)<0，则有?

f(n)?0?ⅰ）?

y y x x o m n o m n

2

例1、对于满足|p|?2的所有实数p,求使不等式x+px+1>2p+x恒成立的x的取值范围。

分析：在不等式中出现了两个字母：x及P,关键在于该把哪个字母看

成是一个变量，另一个作为常数。显然可将p视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于p的一次函数大于0恒成立的问题。

22

略解：不等式即(x-1)p+x-2x+1>0,设f(p)= (x-1)p+x-2x+1,则f(p)在[-2,2]上恒大于0，故有：

2?x?3或x?1?f(?2)?0??x?4x?3?0即?2解得：? ?x?1或x??1f(2)?????x?1?0∴x<-1或x>3. 二、利用判别式求解

把不等式转化为一元二次不等式，利用ax?bx?c?0在R上恒成立 的充要条件是?

2?a?0

，可以求“在实数集R上恒成立”这一类问题。

???0

2x2?2mx?m?1对一切实数x均成立，求实数m的例2、不等式24x?6x?3取值范围。

简解：由4x?6x?3?(2x?22323)??0对一切实数x恒成立，从而，242原不等式等价于2x?2mx?m?4x?6x?3 (x?R) 即 2x?(6?2m)x?(3?m)?0对一切实数x恒成立。

2??(6?2m)2?8(3?m)?0

解得 1?m?3 故实数m的取值范围是（1，3）。 三、分离变量，巧妙求解

若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个

变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。

例3、已知当x?R时，不等式a+cos2x<5-4sinx+5a?4恒成立，求实数a的取值范围。

分析：在不等式中含有两个变量a及x，其中x的范围已知（x?R），另一变量a的范围即为所求，故可考虑将a及x分离。

解：原不等式即：4sinx+cos2x<5a?4-a+5

要使上式恒成立，只需5a?4-a+5大于4sinx+cos2x的最大值，故上述问题转化成求f(x)=4sinx+cos2x的最值问题。

22

f(x)= 4sinx+cos2x=-2sinx+4sinx+1=-2(sinx-1)+3?3,

∴5a?4-a+5>3即5a?4>a+2

?a?2?0?a?2?04?上式等价于?5a?4?0或? 。 解得?a<8.

5?5a?4?(a?2)2?5a?4?0?例4、对于?1?a?1，求使不等式()取值范围。

简解：原不等式等价于x?ax?2x?a?1在a???1,1?上恒成立

212x2?ax1?()2x?a?1恒成立的x的2令f(a)?(x?1)a?x2?2x?1 则f(a)是一次函数，要

f(a)?0在??1,1?上恒成立，则须满足：

f(?1)?0

?

x?x?0

即

f(1)?0 x2?3x?2?0

?2

解得： x?2 或 x?0，故实数x的取值范围是(??,0)?(2,?)。

四、数形结合求解

若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象，则可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。

例5、当x?(0,??)时，不等式x?2ax?a?求实数a的取值范围。

简解：令f(x)?x?2ax?a?222213a??0恒成立，2213a?， 则对称轴x??a， 22??2a?6

（1）??0 即a??3时，x?R，f(x)?0恒成立。

a??3满足条件

（2）当??0 若x?(0,??)时，恒有f(x)?0， 由二次函数的图象可知： ??2a?6?0 ?a?0 解得a?y ?3 20 x f(0)?0

32

由（1）、（2）知：实数a的取值范围是(??,?3)?[,??) 2

例6、当x?(1,2)时，不等式(x-1)

y1=(x-1)2 y 边为二次函数，图象是抛物线，右边为常见的对数函

数的图象，故可以通过图象求解。 y2=logax 2

解：设y1=(x-1),y2=logax,则y1的图象为右图所

1 示的抛物线，要使对一切x?(1,2),y1

然a>1,并且必须也只需当x=2时y2的函数值大于等

于y1的函数值。 o 2 故loga2>1,a>1,?1

五、根据函数的奇偶性、周期性等性质

若函数f(x)是奇(偶)函数，则对一切定义域中的x ,f(-x)=-f(x) (f(-x)=f(x))恒成立；若函数y=f(x)的周期为T，则对一切定义域中的x,f(x)=f(x+T)恒成立。

例7、若f(x)=sin(x+?)+cos(x-?)为偶函数，求?的值。

分析：告诉我们偶函数的条件，即相当于告诉我们一个恒成立问题。 解：由题得：f(-x)=f(x)对一切x?R恒成立， ?sin(-x+?)+cos(-x-?)=sin(x+?)+cos(x-?) 即sin(x+?)+sin(x-?)=cos(x+?)-cos(x-?)

2sinx·cos?=-2sinx·sin??sinx(sin?+cos?)=0

，?只需也必须sin?+cos?=0。 ? 对一切x?R恒成立．．．

x ??=k???4.（k?Z）

以上介绍了含参数不等式恒成立问题的五种求解策略，在实际解题过程中，应根据具体问题的条件、特征选择恰当的方法，快速、简捷地求出答案，只有这样才能真正提高分析问题和解决问题的能力。

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库高考复习高考复习中恒成立问题的解题技巧与策略在线全文阅读。