多目标决策模型：层次分析法(AHP)、代数模型、离散模型(3)

A1 A1 ? A1m 层次 B层总是排序权重（权向量、列向量） a1 a2 ? am B1B2 ?Bnb11b12?b1mW1??ajb1jW2??ajb2jj?1j?1mmb12 b22 ? b2m ?????bn2bn1bnm ?Wn??ajbnjj?1m?max C?I 计算出最大特根（方法：和法、根法、幂法） 一致性检验 C?I?一致性检验比率 ?max?nn?1 C?I C?I??j C?R?R?ImajCI3?aj?m j检验CR?0?1否？ RIj注：①若下层元素Bk与上层元素Aj无关系时，取bkj?0 ②总排序权向量各分量的计算公式：Wi??abj?1mjij(i?1,?,n)

(3) 对层次总排序进行一致性检验：从高层到低层逐层进行，如果

如果B层次某些元素对Aj单的排序的一致性指标为CIj，相应的平均随机一致性指标为

?aCIjmjRIj，则B层总排序随机一致性比率为：C?R?j?1m

jj?aRIj?1当CR?0?1时，认为层次总排序里有满意的一致性，否则应重新调整判断矩阵的元素取值。

八、层次分析法的基本步骤：

（S1）建立层次结构模型

将有关因素按照属性自上而下地分解成若干层次： 同一层各因素从属于上一层因素，或对上层因素有影响，同时又支配下一层的因素或受到下层因素的影响。

最上层为目标层（一般只有一个因素），最下层为方案层或对象层/决策层，中间可以有

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1个或几个层次，通常为准则层或指标层。

当准则层元素过多（例如多于9个）时，应进一步分解出子准则层。

（S2）构造成对比较矩阵，以层次结构模型的第2层开始，对于从属于（或影响及）上一层每个因素的同一层诸因素，用成对比较法和1～9比较尺度构造成对比较矩阵，直到最下层。

（S3）计算（每个成对比较矩阵的）权向量并作一致性检验

① 对每一个成对比较矩阵计算最大特征根?max及对应的特征向量（和法、根法、幂法等）

?W1???W????

?W??n?② 利用一致性指标C?I，随机一致性指标C?R和一致性比率作一致性检验?CR???C?I?? R?I??W1???③ 若通过检验（即C?R?0.1，或C?I?0.1）则将上层出权向量W????归一化之后

?W??n?作为（Bj到Aj）的权向量（即单排序权向量） ④ 若C?R?0.1不成立，则需重新构造成对比较矩阵

（S4）计算组合权向量并作组合一致性检验——即层次总排序

?W1???① 利用单层权向量的权值Wj????j?1, ?, m构组合权向量表：并计算出特征根，组

?W??n?合特征向量，一致性

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上 单 层 层 重 权 量 向 下层 量 层次 A1 A1 ? A1m ?W1???W?计算组合权向量??? ?W??n?其中Wi?ma1 a2 ? am ?aWjj?1mij B1B2 ?Bni)最大特征根?(max W11W12?W1mW1??ajb1jW2??ajb2jj?1j?1mW12 W22 ? W2m ?????Wn2Wn1Wnm ?Wn??ajbnjj?1m和法、根法、幂法 一致性检验CI CIj??(j)max?nn?1 CI?0.1 ? 一致性随机检验RI RIj对照表 CI?CR??jRImajCIjCR?0?1 ？ 一致性比率CR ?aj?m jRI2j?W1??W1?????② 若通过一致性检验，则可按照组合权向量W????的表示结果进行决策（W?????W??W??n??n?中Wi中最大者的最优），即：W*?maxW:Wi??W1,?,Wn??T?

③ 若未能通过检验，则需重新考虑模型或重新构造那些一致性比率，CR较大的成对比较

矩阵

九、特征根的近似求法（实用算法）

层次分析法的基本思路是计算上层每个元素对下一层次各元素的权向量（即最大特征根

?W1???，以及组合权向量及一致性检验问题。 ?max对应的特征向量W????）

?W??n?计算判断矩阵最大特征根和对应阵向量，并不需要追求较高的精确度，这是因为判断矩阵本身有相当的误差范围。而且优先排序的数值也是定性概念的表达，故从应用性来考虑也希望使用较为简单的近似算法。常用的有以下求特征根的近似求法：“和法”、“根法”、“幂法”，具

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体如下： 1．“和法”求最大特征根和对应特征向量（近似解） （S1）将矩阵A?(aij)nxm的每一列向量的归一化得：Wij?~aij?ai?1n

ijn~~~（S2）对Wij按行求和得：Wi??Wij

j?1（S3）将Wi归一化，即有：Wi?~~Wi?W1?~??W???? ，则有特征向量：n~?W??Wi?n?i?1?W1???1n(AW)i（S4）计算与特征向量W????对应的最大特征根?max的近似值：?max??

ni?1Wi?W??n?此方法：实际上是将A的列向量归一化后取平均值作为A的特征向量。 解释：?当A为一致矩阵时，它的每一列向量都是特征向量W

?可以在A的不一致性不严重时，取A的列向量（归一化后）的平均值作为近似特征向

量是合理的（有依据的）。

2．“根法”求最大特征根特征向量近似值：

步骤与“和法”相同，只是在（S2）时：对归一化后的列向量按行“求和”改为按行“求

~?~??积”再取n次方根，即：Wi???Wij??。

?j?1?n1n即有具体步骤：

(S1)将矩阵A?(aij)min的每一列向量归一化得：Wij?~aij?ai?1n

ij（S2）对归一化以后的列向量各元素： Wij?~aij?ai?1n1nn

ij~?~??按行“求和”并开n次方根得：Wi???Wij??

?j?1? 14

?~???W?ij?~?W~?j?1?

（S3）再将Wi归一化得：Wi?ni?1~nnnWi?~????Wij?i?1???i?1?j?1?n1n?W1????W2?得到特征向量近似值：W?? ?????W??n?（S4）计算最大特征根：?max?1(AW)i 作为最大特征根的近似值。 ?nWi注：“根法”是将“和法”中求列向量的算术平均值改为求几何平均值。

3．“幂法”求最大特征根： （S1）任取n维归一化初始向量W(0)

（S2）计算W(k?1)?AW(k), k?0, 1, 2, ?

~~(k?1)~(k?1)(k?1)W（S3）W归一化，即令：W?~(k?1)?Wii?1n

（S4）对预先给定的?，当Wi量；否则返回（S2） （S5）计算最大特征根，?max(k?1)?Wi(k)??(i?1, 2, ? , n)时，W(k?1)即为所求的特征向

~1nWi(k?1)??(k) ni?1Wi以上用幂法求最大特征根?max对应特征向量的迭代方法，其收敛性由TH1（教材P325）中

?1???Aee?的3）limTk?W，其中???，W是对应?max的归一化向量?特征。 k??eAe?1???k（证明：可以将A化为标准形证明）保证。W(0)任意选取，也可以取由“根法”、“和法”得

?W1????W2?W?到的???

???W??n?注：在以上求特征根和特向量的方法中“和法”最简单。

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