多目标决策模型：层次分析法(AHP)、代数模型、离散模型(2)

?A的特征根为n,??W1??????W2?：重量向量　W＝??，则归一化后的特征向量?以n为特征根的特征向量为?????W??：? ?n???W???1??W＝?????Wi＝1?，就表示诸因素C1，C2，?，Cn对上层因素O的权重，即为???W????权向量，此种用特征向量求权向量的方法 称特征根法，?分析：

?W1????W2?若重量向量W??未知时，则可由决策者对物体M1, M2, ?,Mn之间两两相比关系，?????W??n?主观作出比值的判断，或用Delphi（调查法）来确定这些比值，使A矩阵（不一定有一致性）

为已知的，并记此主观判断作出的矩阵为（主观）判断矩阵A，并且此A（不一致）在不一致的容许范围内，再依据：A的特征根或和特征向量W连续地依赖于矩阵的元素aij，即当aij离一致性的要求不太远时，A的特征根i和特征值（向量）W与一致矩阵A的特征根?和特征向量W也相差不大的道理：由特征向量W求权向量W的方法即为特征向量法，并由此引出一致性检查的方法。

问题：Remark

以上讨论的用求特征根来求权向量W的方法和思路，在理论上应解决以下问题： 1． 一致阵的性质1是说：一致阵的最大特征根为n（即必要条件），但用特征根来求特征向量

时，应回答充分条件：即正互反矩阵是否存在正的最大特征根和正的特征向量？且如果正互

反矩阵A的最大特征根?max?n时，A是否为一致阵？

2． 用主观判断矩阵A的特征根?和特征向量W连续逼近一致阵A的特征根?和特征向量W

时，即： 由lim?k??

k?k得到：limWk?W

k??即： limAk?A

k??是否在理论上有依据。

6

3．一般情况下，主观判断矩阵A在逼近于一致阵A的过程中，用与A接近的A*来代替A，即有A*?A，这种近似的替代一致性矩阵A的作法，就导致了产生的偏差估计问题，即一致性检验问题，即要确定一种一致性检验判断指标，由此指标来确定在什么样的允许范围内，主观判断矩阵是可以接受的，否则，要重新两两比较构造主观判断矩阵。此问题即一致性检验问题的内容。

以上三个问题：前两个问题由数学严格比较可获得（见教材P325，定理1、定理2）。第3个问题：Satty给出一致性指标（Th1,Th2介绍如下：） 附： Th1：（教材P326，perronTh 比隆 1970 ）对于正矩阵A（A的所有元素为正数） （1）A的最大特征根是正单根?；

（2）?对应正特征向量W（W的所有分量为正数）

?1???Ake?1?（3）limTk?W 其中：e???为半径向量，W是对应?的归一化特征向量

k??eAe????1???证明：（3）可以通过将A化为标准形证明

Th2：n阶正互反阵A的最大特征根??n；

当??n时，A是一致阵

五、一致性检验——一致性指标：

1．一致性检验指标的定义和确定——C?I的定义：

当人们对复杂事件的各因素，采用两两比较时，所得到的主观判断矩阵A，一般不可直接保证正互反矩阵A就是一致正互反矩阵A，因而存在误差（及误差估计问题）。这种误差，必然导致特征值和特征向量之间的误差(???)及W－W。此时就导致问题AW＝?maxW与问题AW?nW之间的差别。（上述问题中?max是主观判断矩阵A的特征值，W是带有偏差的相对权向量）。这是由判断矩阵不一致性所引起的。

因此，为了避免误差太大，就要给出衡量主观判断矩阵A的一致性的判别准则。 因为：

①当主观判断矩阵A为一致阵A时就有：

??????＝??kk?1n?1nnk??akk??1?n A为一致阵时有：aii?1

k?1k?1nn此时存在唯一的非O特征根

???ma?xn

7

（由一致阵性质1：Rark(4)=1，A有唯一非O最大特征根且?max?n） ②当主观判断矩阵A不是一致矩阵时，此时一般有：?max?n （Th2） 此时，应有：

?max?即：

k????a??hmaxii?n

?max?n??k?max??k

所以，可以取其平均值作为检验主观判断矩阵的准则，一致性的指标， 即： C?I?显然：

（1） 当?max?n时，有：C?I?0， A为完全一致性

（2） C?I值越大，主观判断矩阵A的完全一致性越差，即：A偏离A越远(用特征向量

作为权向量引起的误差越大)

（3） 一般C?I?0?1，认为主观判断矩阵A的一致性可以接受，否则应重新进行两两比较，构造主观判断矩阵。

2．随机一致性检验指标——R?I

问题：实际操作时发现：主观判断矩阵A的维数越大，判断的一致性越差，故应放宽对高维矩

阵的一致性要求。于是引入修正值R?I来校正一致性检验指标：即定义R?I的修正值表为：

?max?nn?1??k?max??kn?1

A的维数 R?I

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0.00 0.00 0.58 0.96 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 并定义新的一致性检验指标为：C?R?C?I R?I随机一致性检验指标——R?I的解释： 为确定A的不一致程度的容许范围，需要确定衡量A的一致性指示C?I的标准。于是Satty又引入所谓随机一致性指标R?I，其定义和计算过程为：

?(i?j)从1～9和1～1中随机取值，① 对固定的n，随机构造正互反阵A?，其元素aij9?与a?ji的互反性，即：aij??1且满足aija?ji??1. ，且aii② 然后再计算A?的一致性指标C?I，因此A?是非常不一致的，此时，C?I值相当大.

③ 如此构造相当多的A?，再用它们的C?I平均值作为随机一致性指标。

8

④ Satty对于不同的n(n?1～11)，用100～500个样本A?计算出上表所列出的随机一致性

指标R?I作为修正值表。

3． 一致性检验指标的定义——一致性比率C?R。

由随机性检验指标C?R可知：

当n?1, 2时，R?I?0，这是因为1, 2阶正互反阵总是一致阵。

对于n?3的成对比较阵A，将它的一致性指标C?I与同阶（指n相同）的随机一致性指标R?I之比称为一致性比率——简称一致性指标， 即有： 一致性检验指标的定义——一致性比率 定义：C?R?C?IC?I： C?R? R?IR?IC?I?0?1时，认为主观判断矩阵A的不一致程度在容许范围之内，当：C?R?R?I可用其特征向量作为权向量。否则，对主观判断矩阵A重新进行成对比较，构重新的主观判断矩阵A。 注：上式C?R?C?I?0?1的选取是带有一定主观信度的。 R?I

六、标度——比较尺度解：

在构造正互反矩阵时，当比较两个可能是有不同性质的因素Ci和Cj对于上层因素O的影响时，採用什么样的相对刻度较好，即aij的元素的值在（1～9）或（1～1）或更多

9的数字，Satty提出用1～9尺度最好，即aij取值为1～9或其互反数1～1，心理学家也

9提出：人们区分信息等级的极限解能力为7±2。可见对n?n阶矩阵，只需作出判断值即可

标度aij 1 3 5 7 9 2，4，6，8， 倒数1，定 义 n(n?1)个2因素i与因素j相同重要 因素i比因素j稍重要 因素i比因素j较重要 因素i比因素j非常重要 因素i比因素j绝对重要 因素i与因素j的重要性的比较值介于上述两个相邻等级之间 因素j与因素i比较得到判断值为aij的互反11111111, , , , , , , 23456789 9

数，aji?1 aii?1 aij注：以上比较的标度Satty曾用过多种标度比较层，得到的结论认为：1～9尺度不仅在较简单的尺度中最好，而且比较的结果并不劣于较为复杂的尺度。Satty曾用的比较尺度为：

① 1～3, 1～5, 1～6，?, 1～11，以及

② (d?0.1)～(d?0.9)，其中d?1, 2, 3, 4 ③ 1～9，其中 P?2, 3, 4, 5…

等共27种比较尺度，对放在不同距离处的光源亮度进行比较判断，并构造出成对比较矩阵，计算出权向量。同时把计算出来的这些权向量与按照物理学中光强度定律和其他物理知识得到的实际权向量进行对比。结果也发现1～9的比较标度不仅简单，而效果也较好（至少不比其他更复杂的尺度差）

因而用1～9的标度来构造成对比较矩阵的元素较合适。

七、组合权向量的计算——层次总排序的权向量的计算

层次分析法的基本思想：

（1） 计算出下一层每个元素对上一层每个元素的权向量W

def：层次总排序，计算同一层次所有元素对最高层相对重要性的排序权值。 当然要先：①构造下一层每个元素对上一次每个元素的成对比较矩阵 ②计算出成对比较矩阵的特征向量（和法，根法，幂法） ③由特征向量求出最大特征根?max（由和法，根法，幂法求得） ④用最大特征根?max用方式 C?I?pP?max?nn?1及C?R?C?R对成对比较矩R?I阵进行一致性检，并通过。

（2） 并把下层每个元素对上层每个元素的权向量按列排成以下表格形式：例，假定：上

层A有m个元素，A1, A2, ?, Am，且其层次总排序权向量为a1, a2, ?, am，下层B有n个元素B1, B2, ?, Bn，则按Bj对 Ai个元素的单排序权向量的列向量为bij，即有：

10

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库多目标决策模型：层次分析法(AHP)、代数模型、离散模型(2)在线全文阅读。