第7章 抽象代数参考答案

第7章 抽象代数习题解答提示

2.（1）、（3）、（4）封闭，（2）不封闭

3.?x，y∈z,x-y∈z,由x-x∈z即0∈z，知0-y∈z即-y∈z 所以 x-(-y) ∈z即x+y∈z

5.（小题1中, A=Z，?x，y∈A，x*y=x+y-xy改为：A=Z-{-1}，?x，y∈A，x*y=x+y+xy） 1）是代数结构，可结合，有单位元0，任意A中元素a的逆元为-a/(1+a) 2）是代数结构，可结合，有单位元?，任意元素逆元为其自身 3）不是代数结构

6. 运算表如下下表所示。从表中可以看出有单位元f2,没有零元。f2,f3有逆元，为其自身。 x f1 f2 f3 f4 f1 f1 f1 f4 f4 f2 f1 f2 f3 f4 f3 f1 f3 f2 f4 f4 f1 f4 f1 f4 7.满足（1）、（2）、（10）：<{a}; *>, a*a=a; 满足（3）：<{a,b}; *1>; 满足（4）：<{a,b}; *2>; 满足（5）：<{a,b}; *3>; 满足（6）、（7）：<{a,b}; *4>; 满足（8）：<{a,b}; *5>; 满足（9）：<{a,b}; *6>; 运算*1、*6分别如下下列表所示。 *1 a b *2 *4 a b a a a b b a a b a a a b *5 a b a a b b a b a b a a b b b a *3 a b a a a b a a *6 a b a b b b a b 8.由题设，任意a,b∈A，如果a*b=b*a必有a=b。

（1）?a∈A，a*(a*a)=(a*a)*a?a*a=a。

（2）?a,b∈A，(a*b*a)*a=a*b*(a*a)=a*b*a，a*(a*b*a)=(a*a)*b*a=a*b*a ?(a*b*a)*a=a*(a*b*a)?a*b*a=a

（3）?a,b,c∈A，由(2)有(a*b*c)*(a*c)=a*b*(c*a*c)=a*b*c,

(a*c)*(a*b*c)=(a*c*a)*b*c=a*b*c?(a*b*c)*(a*c)=(a*c)*(a*b*c)?a*b*c=a*c

9.（1）显然*在S上是封闭的，?x,y,z∈S，(x*y)*z=x*z=x=x*(y*z)，即满足结合性。 （2）显然，原集合S中的元素不能是单位元，只需要增加一个元素e，并定义x∈S,e*x=x*=x,e*e=e.

10.显然ο是S上二元运算。?x,y,z∈S，有

(xοy)οz=(xοy)*a*z=(x*a*y)*a*z=x*a*(y*a*z) =x*a*(yοz)=xο(yοz)

ο是可结合的，故也是一个半群。

11.（2）封闭性是显然的。?a,b,c∈Nk

(a*kb)*kc=(ab-n1k)*kc=abc-n1kc-n2k= abc-(n1c+n2)k （n1满足0?ab-n1k

类似地，可以得到a*k(b*kc)=?=abc(modk) ∴(a*kb)*kc=a*k(b*kc)运算满足结合律。

12.由于f，g都是S到S′的函数，*′是S′上的运算， h(x) = f(x)?′g(x) ，所以h是S到S′的函数。又?x,y∈S，

h(x*y)=f(x*y)*’g(x*y)=(f(x)*′f(y))*′(g(x)*′g(y)) =f(x)*′(f(y)*′g(x))*′g(y) =f(x)*′(g(x))*′f(y))*′g(y) =(f(x)*′g(x))*′(f(y)*′g(y)) =h(x) *′h(y)

h是到的同态。

13.f是X到Y的映射，g是从X到Y的映射，因此f、g的复合函数gof是X到Z的映射。而gof(x1°x2) =g(f(x1)*f(x2))=g(f(x1))×g(f(x2))= gof(x1)×gof(x2)。因此，gof：X→Z是从A到C的同态。

14.建立从A到Z的映射f: 任意a∈A，f(a)=a/m （a整除m）

15.设复数的集合C={a+bi|a+bi为复数,a,b∈R},相应地可以定义2×2矩阵集合M={??a??bb?a?}。建立映射f: C—>M, f(a+bi)= ??|a,b∈R

?a??bb?可以证明f是从?。

a?到的同构映射。

16.同构

17. R是半群元素间的同构关系，在理解同构关系的基础上根据等价关系的定义是很容易证明的。事实上，代数结构间的同构关系是等价关系，下面对此进行了证明： 代数结构间的同构关系是等价关系。 证明 设〈X；°〉，〈Y；*〉，〈Z；+〉是任意的三个代数结构，并设同构关系用“≌”表示，

下面≌证明满足自反性、对称性以及传递性。

(1) 自反性：显然有〈X；°〉≌〈X；°)，即是自反的。?

(2) 对称性：如果〈X；°〉≌〈Y；*〉则必存在一个双射 g: X→Y，使得若x1，x2∈X，并有：?

g(x1°x2)=g(x1)*g(x2)??

根据双射的定义，必存在一个双射的逆映射?g: Y→X。? 现要证对g-1: Y→X，若y1，y2∈Y，必有：?

? g(y1*y2)=g(y1)°g(y2)??

-1

设对任意的y1，y2∈Y必存在x1，x2∈X，使得g(x1)=y1，g(x2)=y2，亦即g(y1)=x1，g-1(y2)=x2，故有：?

? g(y1*y2) = g(g(x1)*g(x2)) =g(g(x1°x2)) =x1°x2 又? g(y1)°g(y2)=x1°x2

所以 g(y1*y2)=g(y1)°g(y2) 因此，〈Y；*〉≌〈X；°〉，所以≌是对称的。?

(3) 传递性：如果有〈X；°〉≌〈Y；*〉，且〈Y；*〉≌〈Z；+〉，要证明〈X；°〉≌〈Z；+〉。由条件亦即存在双射g: X→Y与h: Y→Z，使得对任意x1，x2∈X和y1，y2∈Y，必有： g(x1°x2)=g(x1)*g(x2)， h(y1*y2)=h(y1)+h(y2)??

下面证明存在一个双射f: X→Z，使得对任意x1，x2∈X，有f(x1°x2)=f(x1)+f(x2)，? 令f=h·g，即h与g的复合映射，由于g，h均是双射射，所以f亦是双射。? ? f(x1°x2)=h·g(x1°x2)=h(g(x1)*g(x2))=h(g(x1))+h(g(x2))

=h·g(x1)+h·g(x2)=f(x1)+f(x2)? ? 所以，≌是传递的。?

综上，≌是等价关系，即代数结构间的同构关系是等价关系。证毕。

18.反证法。假设题设代数结构，同构，根据定理或直接证明后者也有单位元，与题设矛盾。

19.要证明R为同余关系，需要按照定义来证明。

商代数,其中V/R={{a1,a3},{a2, a5},{a4}}。 运算表如下表所示：

-1

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显然，为一代数结构，建立V到V/R的映射h: h（a1）= h（a3）= [a1] ， h（a2）= h（a5）= [a2]，

h（a4）= [a4]

进而可以根据满同态定义证明h为V到V/R的满同态。

20.假设R1和R2是S上的同余关系，?x1,y1,x2,y2?S，若x1(R1∩R2)y1,x2(R1∩R2)y2，则 x1R1y1，x1R2y1 且 x2R1y2,x2R2y2，因为R1和R2均是S上同余关系，所以 (x1*x2)R1(y1*y2) 且 (x1*x2)R2(y1*y2)，因此(x1*x2)(R1∩R2)(y1*y2)，

故R1∩R2对于运算*满足代换性质，从而R1∩R2是S上的同余关系。证毕。

21. 根据h(x)的定义，h显然为从到的满同态映射。

任意x,y∈I,xRy当且仅当h(x)=h(y)，即|x|=|y|。R为上的同余关系。

商代数为，其中，I/R={[k]R | [k]R为R在I上的等价类，k∈N}，且对于任意[a]R,[b]R∈I/R, [a]R,⊙[b]R=[a·b]R。 下面证明与同构。

首先建立从I/R到N的映射f: 对于任意[x]R∈I/R,x∈N，于是可令f([x]R)=|x|∈N,[x] R仅仅包含x与-x两个元素，显然，f是I/R到N的双射。

其次，任意[a]R,[b]R∈I/R, f([a]R,⊙[b]R)=f([a·b]R)=|a·b|=|a|·|b|=f([a]R)·f([b]R)。 因此，与同构。