北京市海淀区2011届高三一模考试（数学理）（2011海淀一模）(2)

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由分 所

12asinA?csinC得a?5， ???????11

以

12?ABC的面积为：

acsinB?. ??????13分

AD

16. （共14分）

解：(Ⅰ)证明：∵AD//EF,EF//BC， ∴AD//BC.

又∵BC?2AD,G是BC的中点， ∴AD//BG，

B ∴四边形ADGB是平行四边形，

∴ AB//DG. ?????2分 ∵AB?平面DEG，DG?平面DEG，

∴AB//平面DEG. ???????4分 (Ⅱ) 解法1

证明：∵EF?平面AEB，AE?平面AEB，

∴EF?AE，

GCEHF又AE?EB,EB?EF?E，EB,EF?平面BCFE，

∴AE?平面BCFE. ?????????5分

过D作DH//AE交EF于H，则DH?平面BCFE.

∵EG?平面BCFE， ∴DH?EG. ?????????6分

∵AD//EF,DH//AE，∴四边形AEHD平行四边形， ∴EH?AD?2，

∴EH?BG?2，又EH//BG,EH?BE，

∴四边形BGHE为正方形，

∴BH?EG， ?????????7分

又BH?DH?H,BH?平面BHD，DH?平面BHD,

∴EG⊥平面BHD. ?????????8分 ∵BD?平面BHD,

∴BD?EG. ?????????9分 解法2

z∵EF?平面AEB，AE?平面AEB，BE?平面AEB，A∴EF?AE，EF?BE，

又AE?EB,

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∴EB,EF,EA两两垂直. ????????5分

以点E为坐标原点，EB,EF,EA分别为x,y,z轴建立如图的空间直角坐标系. 由已知得，A（0，0，2），B（2，0，0），

，F（0，3，0），D（0，2，2）， C（2，4，0）

G（2，2，0）. ??????????6分

????∴EG?(2,2,0)????，BD?(?2,2,2)，???7分

????????∴BD?EG??2?2?2?2?0, ???8分

∴BD?EG. ??????????9分

????(Ⅲ)由已知得EB?(2,0,0)是平面EFDA的法向量. ??????????10分

，

????????设平面DCF的法向量为n?(x,y,z)，∵FD?(0,?1,2),FC?(2,1,0)??????FD∴???????FC??n?0??n?0，即???y?2z?0?2x?y?0，令z?1,得n?(?1,2,1). ??????????12分

设二面角C?DF?E的大小为?，

????则cos??cos?n,EB???226??66， ??????????13分

∴二面角C?DF?E的余弦值为?分

17. （共13分）

66. ??????????14

解：(Ⅰ)设随机选取一件产品，能够通过检测的事件为A ??????????1分

事件A等于事件 “选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测” ?????2分

p(A)?610?410?23?1315 ??????????4

分

(Ⅱ) 由题可知X可能取值为0,1,2,3.

P(X?0)?C4C6C10C4C6C10312330?13012,P(X?1)?C4C6C10C4C6C10303321?31016,

P(X?2)??,P(X?3)??. ??????8

分

X 0 1 2 3 京翰教育网 http://www.zgjhjy.com/

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P 130 310 12 16

?????9分

(Ⅲ)设随机选取3件产品都不能通过检测的事件为B ?????10分

事件B等于事件“随机选取3件产品都是二等品且都不能通过检测” 所以，P(B)?分

18. （共13分） 解：（Ⅰ）

f(x)131. ?????13?()?3038101的定义域为(0,??)， ?????????1分

1x?x?1x当a?1时，f(x)?x?lnx，f?(x)?1?x ， ?????????2分

(0,1) 1 0 极小 (1,??)

?????????3分

所以f(x)在x?1处取得极小值1. ????

f?(x) f(x) — + ?????4分 （Ⅱ）h(x)?x?h?(x)?1?1?ax21?ax2?alnx，

?(x?1)[x?(1?a)]x2?ax?x?ax?(1?a)x2?????????6分

，在(1?a,??)上h?(x)?0①当a?1?0时，即a??1时，在(0,1?a)上h?(x)?0，

所以h(x)在(0,1?a)上单调递减，在(1?a,??)上单调递增； ?????????7分 ②当1?所

a?0，即a，

??1时，在(0,??)上h?(x)?0，

(0,??)以函数

h(x)在上单调递

增. ?????????8分 （III）在?1,e?上存在一点x0，使得f(x0)?g(x0)成立，即

在?1,e?上存在一点x0，使得h(x0)?0，即 函数h(x)?x?1?ax?alnx在?1,e?上的最小值小于零. ?????????9分

由（Ⅱ）可知

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①即1?a?e，即a?e?1时， h(x)在?1,e?上单调递减， 所以h(x)的最小值为h(e)，由h(e)因为

e?1e?12?e?1?ae?a?0可得a?e?1e?12，

?e?1，所以a?e?1e?12； ?????????10分

②当1?a?1，即a?0时， h(x)在?1,e?上单调递增，

a?0所以h(x)最小值为h(1)，由h(1)?1?1?③当1?1?可得a??2； ?????????11分

a?e，即0?a?e?1时， 可得h(x)最小值为h(1?a)，

因为0?ln(1?a)?1，所以，0?aln(1?a)?a 故h(1?a)?2?a?aln(1?a)?2

此时，h(1?a)?0不成立. ?????????12分 综上讨论可得所求a的范围是：a

19. （共14分）

解：（Ⅰ）由已知可得e?322?e?1e?12或a??2. ?????????13分

a?ba222?14，所以3a2?4b2 ① ?????1分

94b2 又点M(1,)在椭圆C上，所以

221a2??1 ② ?????2分

由①②解之，得a?4,b?3.

x2 故椭圆C的方程为

4?y23?1. ?????5分

(Ⅱ) 当k?0时，P(0,2m)在椭圆C上，解得m??32，所以|OP|?3. ??6分

当k?0时，则由??y?kx?m,?xy??1.?3?42222

消y化简整理得：(3?4k)x?8kmx?4m?12?0，

??64km222?4(3?4k)(4m22?12)?48(3?4k2?m)?02

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③ ?????8分

(x2,y2)、(x0,y0)，则 设A,B,P点的坐标分别为(x1,y1)、x0?x1?x2??8km3?4k2,y0?y1?y2?k(x1?x2)?2m?6m3?4k2. ?????

9分

由于点P在椭圆C上，所以 分

从而分

又|OP|?x0?y0?22x042?y032?1. ?????10

16km2222(3?4k)?12m222(3?4k)?1，化简得4m2经检验满足③式. ???11?3?4k，

264km2222(3?4k)?9)2?36m222(3?4k)?9 ?4m(16k222(3?4k)34k2?16k4k22 ?3?4??3. ?????????12分

因为0?k?12，得3?4k2?3?4，有

13234?34k2?3?1，

故3?OP?分

. ?????????13

综上，所求OP的取值范围是[3,132]. ?????????14分

(x2,y2)、(x0,y0)， (Ⅱ)另解：设A,B,P点的坐标分别为(x1,y1)、由

2A,B2在

①②椭圆上，可得

?3x1?4y1?12?22?3x2?4y2?12 ?????????6分

②

整

理

得

①—

3(x1?x2)(x1?x2)?4(y1?y2)(y1?y2)?0③ ?????????7分

由已知可得

????????????O?P?，所以

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