反比例函数典型习题(附答案)(4)

解析：本题首先用待定系数法求出两个函数的解析式，然后采用解方程组的方法求函数的另一个交点的坐标。 答案：（1）∵点A(?1，4)在函数y??2x?b的图像上， ∴

4??2???1??b

∴b?2 ∴y??2x?2

y??4x

同理可得

?y??2x?2?4?y???x（2）解?，得

?x1??1?x1?2??y?4y??2?1，?1

可见，点B的坐标为（2，-2）

点评：已知某一个点在某个函数图象上，可得到结论：“点的坐标满足函数解析式”，这是待定系数法的基础。求两

个函数图象的交点坐标的方法是：解由这两个函数解析式组成的方程组。

k227.如图9，直线y＝k1x＋b与双曲线y＝x相交于A（1，2），B（m，－1）两点．

（1）求直线和双曲线的解析式；

（2）若A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3）为双曲线上的三点，且x1＜x2＜0＜x3，请直接写出y1，y2，y3的大小关系式；

k2（3）观察图象，请直接写出不等式k1x＋b＞x的解集．

图9

k2【解析】（1）先将A（1，2）代入y＝x求得k2，再将B（m，－1）代入求得m值，接着运用待定系数法求得直线

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解析式．（2）（3）两问可借助图象直接观察求解．

k2【答案】解：（1）∵双曲线y＝x经过点A（1，2），∴k2＝2．

2∴双曲线的解析式为：y＝x．

2∵点B(m，－1)在双曲线y＝x上，∴m＝－2，则B（－2，－1）． 由点A（1，2），B（－2，－1）在直线y＝k1x＋b上，得

?k1?b?2,?k1?1,????2k1?b??1.解得?b?1.

∴直线的解析式为：y＝x＋1． （2）y2＜y1＜y3．

（3）x＞1或－2＜x＜0．

【点评】一般情况下，一次函数与反比例函数的交点已知时，要先确定反比例函数解析式，因为反比例函数解析式中只有一个待定系数，而一次函数有两个待定系数．象第（2）题这样的问题，往往从图象上直接观察容易得解，不要通过死记反比例函数的增减性解答．而象第（3）题这样的问题，需注意理解位于上方的函数图像的函数值较大.整题充分体现了数形结合的数学思想．

y?k?1x28.已知反比例函数（1）求k的取值范围；

图象的两个分支分别位于第一、第三象限．

（2）若一次函数y?2x?k的图象与该反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是4． ①求当x??6时反比例函数y的值；

0?x?12时，求此时一次函数y的取值范围．

k?1x ②当

y?【解析】由反比例函数

图象的两个分支分别位于第一、第三象限． 可得k?1?0进而求得k的取值范围；

把交点坐标代入两个解析式，利用待定系数法可求出两个函数解析式．再由函数性质可求出一次函数取值范围．

y?k?1x【答案】解：（1）∵反比例函数

图象的两个分支分别位于第一、第三象限 ∴k?1?0，∴k?1

4?2a?k???4?k?1?a（2）①设交点坐标为（a，4），代入两个函数解析式得：?

1??a??2??k?3y?2x 当x??6时反比例函数y的值为

y?2?6??13

解得 ∴反比例函数的解析式是

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1②由①可知，两图象交点坐标为（2，4） 一次函数的解析式是y?2x?3，它的图象与y轴交点坐标是（0，3）

0?x?1由图象可知，当（8分）

2时，一次函数的函数值y随x的增大而增大∴y的取值范围是3?y?4

【点评】本题综合考查了反比例函数与一次函数的性质，难度中等．

29.据媒体报道，近期“手足口病”可能进入发病高峰期，某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“手足口病”，对教室进行“薰药消毒”。已知药物在燃烧机释放过程中，室内空气中每立方米含药量y（毫克）与燃烧时间x（分钟）之间的关系如图8所示（即图中线段OA和双曲线在A点及其右侧的部分），根据图象所示信息，解答下列问题： （1）写出从药物释放开始，y与x之间的函数关系式级自变量的取值范围；

（2）据测定，当空气中每立方米的含药量低于2毫克时，对人体无毒害作用，那么从消毒开始，至少在多长时间内，师生不能进入教室？

【解析】反比例函数

k150【答案】解：（1）设反比例函数解析式为y=x，将（25，6）代入解析式得，k=25×6=150，则函数解析式为y=x150（x≥15），将y=10代入解析式得，10=xx=15，故A（15，10），设正比例函数解析式为y=nx，将A（15，10）

22代入上式即可求出n的值， n=3，则正比例函数解析式为y=3x（0≤x≤15）．

150（2）x=2，解之得x=75（分钟），

答：从药物释放开始，师生至少在75分钟内不能进入教室．

【点评】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．

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