2017北京四中高三（上）期中数学（理）(1)(2)

17.已知函数f(x)?2(3cosx?sinx)sinx,x?R. （Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期与单调增区间； （Ⅱ）求函数f(x)在?0,

???

上的最大值与最小值. ??4?

31πsin2x?cos2x)?1?2sin(2x?)?1...............2分 226解：f(x)?3sin2x?cos2x?1?2(（Ⅰ）f(x)的最小正周期为T?令?2π?π..............4分 2?2?2k??2x??6??2?2k?,k?Z，解得??3?k??x??6?k?，

,k??],k?Z...............6分 36???2?1?（Ⅱ）因为0?x?，所以?2x??，所以?sin(2x?)?1，..............8分

466326于是1?2sin(2x?所以函数f(x)的单调增区间为[k?????6)?2，所以0?f(x)?1...............11分

当且仅当x?0时f(x)取最小值f(x)min?f(0)?0 当且仅当2x??6??2，即x?

?6

时最大值f(x)max?f()?1...............13分

?618.已知函数f(x)?alnx?1，a?R． x（Ⅰ）若曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x?2y?0垂直，求a的值；

（Ⅱ）当a?1时，试问曲线y?f(x)与直线y=2x-3是否有公共点？如果有，求出所有公共点；若没有，请说明理由．

解：（Ⅰ）函数f(x)的定义域为?x|x?0?，f?(x)?a1?2．................2分 xx又曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x?2y?0垂直， 所以f?(1)?a?1?2，即a?1．................5分

（Ⅱ）当a?1时，f(x)?lnx?令g(x)?lnx?g?(x)?1?2x?3． x1，x?(0,??)． x11(2x?1)(x?1)．................7分 ?2?2??xxx2当x?1时，g?(x)?0，g(x)在(1,??)单调递减； 当时，，g(x)在(0,1)单调递增．................10分

(1,??)恒负． 又g(1)?0，所以g(x)在

因此，曲线与直线仅有一个公共点，公共点为．................13分

19.已知函数f(x)?x2?(a?2)x?alnx(a为实常数). （Ⅰ）若a??2，求曲线y?f(x)在x=1处的切线方程；

6 / 9

（Ⅱ）讨论函数f(x)在[1,e]上的单调性；

（III）若存在x??1,e?，使得f(x)?0成立，求实数a的取值范围.

解:(1)a??2时，f(x)?x2?2lnx，f'(1)?0，所求切线方程为y=1. ????3分

a2x2??a?2?x?a?2x?a??x?1?⑵f(x)?2x?(a?2)??,x?[1,e]. ?xxx'

当

a?1即a?2时， 2x?[1,e]，f'(x)?0，此时，f(x)在[1,e]上单调增；

当1?a?e即2?a?2e时， 2

?a??a?x??1,?时，f'(x)?0，f(x)?1,?上单调减；

?2??2??a??a?x??,e?时，f'(x)?0，f(x)在?,e?上单调增；

?2??2?当

a?e即a?2e时， 2x??1,e?，f'(x)?0，此时，f(x)在?1,e?上单调减；????8分

⑶方法一：当a?2时，?f(x)在?1,e?上单调增，?f(x)的最小值为f(1)??a?1,??1?a?2 当2?a?2e时，f(x)在?1,?上单调减，在??a??2??a?,e?上单调增, 2??aa2a?aa??f(x)的最小值为f()???a?aln?a?ln??1?.

242?24??2?a?2e?0?lna3ae?1,??1??1. 2242a?aa??f()?a?ln??1??0，?2?a?2e..

2?24?2当a?2e时，f(x)在?1,e?上单调减，?f(x)的最小值为f(e)?e??a?2?e?a

e2?2e?f(e)?0,?a?2e. ?a?2e?e?1综上，a??1???14分

方法二：不等式f(x)?0，可化为a(x?lnx)?x2?2x．

∵x?[1,e], ∴lnx?1?x且等号不能同时取，所以lnx?x，即x?lnx?0，

7 / 9

x2?2xx?[1,e]因而a?（）

x?lnx(x?1)(x?2?2lnx)x2?2xx?[1,e]令g(x)?（），又g?(x)?，

(x?lnx)2x?lnx当x?[1,e]时，x?1?0,lnx?1，x?2?2lnx?0，

从而g?(x)?0（仅当x=1时取等号），所以g(x)在?1,e?上为增函数， 故g(x)的最小值为g(1)??1，所以a的取值范围是[?1,??)．???14分

20.（本小题共14分）

设f?x?是定义在D上的函数，若对D中的任意两数x1,x2（x1?x2），恒有

2?12?1f?x1?x2??f?x1??f?x2?，则称f?x?为定义在D上的C函数．

3?33?3（Ⅰ）试判断函数f?x??x是否为定义域上的C函数，并说明理由；

2（Ⅱ）若函数f?x?是R上的奇函数，试证明f?x?不是R上的C函数；

（Ⅲ）设f?x?是定义在D上的函数，若对任何实数??[0,1]以及D中的任意两数x1,x2（x1?x2），恒有

f??x1??1???x2???f?x1???1???f?x2?，则称f?x?为定义在D上的?函数. 已知f?x?是R上的π函数，

m是给定的正整数，设an?f?n?,n?0,1,2,L,m，且a0?0,am?2m，记Sf?a1?a2?L?am. 对于满足条件

的任意函数f?x?，试求Sf的最大值.

解：（Ⅰ）f?x??x是Ｃ函数， ?????2分

2证明如下：

对任意实数x1,x2（x1?x2）， 有f?2?12?1x1?x2??f?x1??f?x2?

3?33?32222?12?1??x1?x2??x12?x22???x1?x2??0.

93?33?3即f?2?12?1x1?x2??f?x1??f?x2?.

3?33?32∴f?x??x是Ｃ函数. ??4分 （Ⅱ）假设f?x?是R上的Ｃ函数，取x1?1,x2??1，. 则有f(?1?13212?(?1))?f(1)?f(?1). 333 8 / 9

?f?x?是奇函数，

∴f(?1)??f(1)，f(?)??f().

1313∴f()?131f(1). (*) 3131f(1).与(*)式矛盾. 3同理,取x1??1,x2?1，可证f()?∴f?x?不是R上的Ｃ函数． ???????9分 （Ⅲ）对任意0?n?m，取x1?m，x2?0，??n??0,1?. m?f?x?是R上的?函数，an?f?n?，且a0?0,am?2m

∴an?f?n??f??x1??1???x2???f?x1???1???f?x2??2n?2m?2n. m那么Sf?a1?a2???am?2??1?2???m??m?m.

2可证f?x??2x是?函数，且使得an?2n(n=0,1,2,L,m)都成立，此时Sf?m?m．

综上所述，Sf的最大值为m2?m． ??????????14分

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