2015年初二数学经典难题[含有答案](2)

点评： 本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，关键是正确作出辅助线，又是难点，题型较好，但有一定的难度，对学生提出了较高的要求． 2．（10分）已知：如图，在四边形ABCD中，AD=BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F． 求证：∠DEN=∠F．

考点： 专题： 分析： 三角形中位线定理。 证明题。 连接AC，作GN∥AD交AC于G，连接MG，根据中位线定理证明MG∥BC，且GM=BC，根据AD=BC证明GM=GN，可得∠GNM=∠GMN，根据平行线性质可得：∠GMF=∠F，∠GNM=∠DEN从而得出∠DEN=∠F． 证明：连接AC，作GN∥AD交AC于G，连接MG． ∵N是CD的中点，且NG∥AD， ∴NG=AD，G是AC的中点， 又∴M是AB的中点， ∴MG∥BC，且MG=BC． ∵AD=BC， ∴NG=GM， △GNM为等腰三角形， ∴∠GNM=∠GMN， ∵GM∥BF， ∴∠GMF=∠F， ∵GN∥AD， ∴∠GNM=∠DEN， ∴∠DEN=∠F． 解答： 6

点评： 3．（10分）如图，分别以△ABC的边AC、BC为一边，在△ABC外作正方形ACDE和CBFG，点P是EF的中点，求证：点P到AB的距离是AB的一半．

此题主要考查平行线性质，以及三角形中位线定理，关键是证明△GNM为等腰三角形．

考点： 专题： 分析： 梯形中位线定理；全等三角形的判定与性质。 证明题。 分别过E，F，C，P作AB的垂线，垂足依次为R，S，T，Q，则PQ=（ER+FS），易证Rt△AER≌Rt△CAT，则ER=AT，FS=BT，ER+FS=AT+BT=AB，即可得证． 解：分别过E，F，C，P作AB的垂线，垂足依次为R，S，T，Q，则ER∥PQ∥FS， ∵P是EF的中点，∴Q为RS的中点， ∴PQ为梯形EFSR的中位线， ∴PQ=（ER+FS）， ∵AE=AC（正方形的边长相等），∠AER=∠CAT（同角的余角相等），∠R=∠ATC=90°， ∴Rt△AER≌Rt△CAT（AAS）， 同理Rt△BFS≌Rt△CBT， ∴ER=AT，FS=BT， ∴ER+FS=AT+BT=AB， ∴PQ=AB． 解答： 点评： 此题综合考查了梯形中位线定理、全等三角形的判定以及正方形的性质等知识点，辅助线的作法很关键． 4．（10分）设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA=∠PDA．

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求证：∠PAB=∠PCB．

考点： 专题： 分析： 四点共圆；平行四边形的性质。 证明题。 根据已知作过P点平行于AD的直线，并选一点E，使PE=AD=BC，利用AD∥EP，AD∥BC，进而得出∠ABP=∠ADP=∠AEP， 得出AEBP共圆，即可得出答案． 证明：作过P点平行于AD的直线，并选一点E，使PE=AD=BC， ∵AD∥EP，AD∥BC． ∴四边形AEPD是平行四边形，四边形PEBC是平行四边形， ∴AE∥DP，BE∥PC， ∴∠ABP=∠ADP=∠AEP， 可得：AEBP共圆（一边所对两角相等）． 可得∠BAP=∠BEP=∠BCP， ∴∠PAB=∠PCB． 解答： 点评： 此题主要考查了四点共圆的性质以及平行四边形的性质，熟练利用四点共圆的性质得出是解题关键． 5．（10分）P为正方形ABCD内的一点，并且PA=a，PB=2a，PC=3a，求正方形的边长．

考点： 专题： 分析： 正方形的性质；勾股定理；等腰直角三角形；旋转的性质。 综合题。 把△ABP顺时针旋转90°得到△BEC，根据勾股定理得到PE=2a，再根据勾股定理逆定理证明△PEC是直角三角形，从而得到∠BEC=135°，过点C作CF⊥BE于点F，△CEF是等腰直角三角形，然后再根据勾股定理求出BC的长度，即可得到正方形的边长． 解：如图所示，把△ABP顺时针旋转90°得到△BEC， ∴△APB≌△CEB， ∴BE=PB=2a， 解答： ∴PE=2=22a， 22在△PEC中，PC=PE+CE=9a， ∴△PEC是直角三角形， ∴∠PEC=90°， ∴∠BEC=45°+90°=135°，

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过点C作CF⊥BE于点F， 则△CEF是等腰直角三角形， ∴CF=EF=CE=a， 在Rt△BFC中，BC=即正方形的边长为a． ==a， 点评： 本题考查了正方形的性质，旋转变化的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理以及逆定理的应用，作出辅助线构造出直角三角形是解题的关键． 6．（10分）一个圆柱形容器的容积为V立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管2倍的大水管注水．向容器中注满水的全过程共用时间t分．求两根水管各自注水的速度． 考点： 分式方程的应用。 分析： 设小水管进水速度为x，则大水管进水速度为4x，一个圆柱形容器的容积为V立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管2倍的大水管注水．向容器中注满水的全过程共用时间t分可列方程求解． 解答： 解：设小水管进水速度为x立方米/分，则大水管进水速度为4x立方米/分．由题意得： 解之得：经检验得： 是原方程解． 立方米/分，大口径水管速度为立方米/分． ∴小口径水管速度为点评： 本题考查理解题意的能力，设出速度以时间做为等量关系列方程求解． 7．（10分）（2009?郴州）如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（﹣2，﹣1），且P（﹣1，﹣2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B． （1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；

（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；

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（3）如图2，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形

OPCQ周长的最小值． 考点： 专题： 分析：

反比例函数综合题。 压轴题。 （1）正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（﹣2，﹣1），设出正比例函数和反比例函数的解析式，运用待定系数法可求它们解析式； （2）因为P（﹣1，﹣2）为双曲线Y=上的一点，所以△OBQ、△OAP面积为1，依据反比例函数的图象和性质，点Q在双曲线上，即符合条件的点存在，是正比例函数和反比例函数的图象的交点； （3）因为四边形OPCQ是平行四边形，所以OP=CQ，OQ=PC，而点P（﹣1，﹣2）是定点，所以OP的长也是定长，所以要求平行四边形OPCQ周长的最小值就只需求OQ的最小值． 解：（1）设正比例函数解析式为y=kx， 将点M（﹣2，﹣1）坐标代入得k=，所以正比例函数解析式为y=x， 同样可得，反比例函数解析式为； 解答： （2）当点Q在直线OM上运动时， 设点Q的坐标为Q（m，m）， 于是S△OBQ=|OB×BQ|=×m×m=m， 而S△OAP=|（﹣1）×（﹣2）|=1， 所以有，m=1，解得m=±2， 所以点Q的坐标为Q1（2，1）和Q2（﹣2，﹣1）； （3）因为四边形OPCQ是平行四边形，所以OP=CQ，OQ=PC， 而点P（﹣1，﹣2）是定点，所以OP的长也是定长， 所以要求平行四边形OPCQ周长的最小值就只需求OQ的最小值，（8分） 因为点Q在第一象限中双曲线上，所以可设点Q的坐标为Q（n，）， 22 10

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