2015年初二数学经典难题[含有答案]

三角形数学经典难题

一、解答题（共10小题，满分100分） 1．（10分）已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD=∠PDA=15°．求证：△PBC是正三角形．

2．（10分）已知：如图，在四边形ABCD中，AD=BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F． 求证：∠DEN=∠F．

3．（10分）如图，分别以△ABC的边AC、BC为一边，在△ABC外作正方形ACDE和CBFG，点P是EF的中点，求证：点P到AB的距离是AB的一半．

4．（10分）设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA=∠PDA． 求证：∠PAB=∠PCB．

1

5．（10分）P为正方形ABCD内的一点，并且PA=a，PB=2a，PC=3a，求正方形的边长．

6．（10分）一个圆柱形容器的容积为V立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管2倍的大水管注水．向容器中注满水的全过程共用时间t分．求两根水管各自注水的速度． 7．（10分）（2009?郴州）如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（﹣2，﹣1），且P（﹣1，﹣2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B． （1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；

（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；

（3）如图2，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值．

2

8．（10分）（2008?海南）如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在线段BC上，且PE=PB． （1）求证：①PE=PD；②PE⊥PD； （2）设AP=x，△PBE的面积为y． ①求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； ②当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值．

9．（10分）（2010?河南）如图，直线y=k1x+b与反比例函数（1）求k1、k2的值． （2）直接写出

时x的取值范围；

（x＞0）的图象交于A（1，6），B（a，3）两点．

（3）如图，等腰梯形OBCD中，BC∥OD，OB=CD，OD边在x轴上，过点C作CE⊥OD于点E，CE和反比例函数的图象交于点P，当梯形OBCD的面积为12时，请判断PC和PE的大小关系，并说明理由．

3

10．（10分）（2007?福州）如图，已知直线y=x与双曲线（1）求k的值； （2）若双曲线

上一点C的纵坐标为8，求△AOC的面积；

交于A，B两点，且点A的横坐标为4．

（3）过原点O的另一条直线l交双曲线顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标．

于P，Q两点（P点在第一象限），若由点A，B，P，Q为

4

2014年初二数学经典难题

参考答案与试题解析

一、解答题（共10小题，满分100分） 1．（10分）已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD=∠PDA=15°．求证：△PBC是正三角形．（初二）

考点： 专题： 分析： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；等边三角形的判定。 证明题。 在正方形内做△DGC与△ADP全等，根据全等三角形的性质求出△PDG为等边，三角形，根据SAS证出△DGC≌△PGC，推出DC=PC，推出PB=DC=PC，根据等边三角形的判定求出即可． 证明： ∵正方形ABCD， ∴AB=CD，∠BAD=∠CDA=90°， ∵∠PAD=∠PDA=15°， ∴PA=PD，∠PAB=∠PDC=75°， 在正方形内做△DGC与△ADP全等， ∴DP=DG，∠ADP=∠GDC=∠DAP=∠DCG=15°， ∴∠PDG=90°﹣15°﹣15°=60°， ∴△PDG为等边三角形（有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形）， ∴DP=DG=PG， ∵∠DGC=180°﹣15°﹣15°=150°， ∴∠PGC=360°﹣150°﹣60°=150°=∠DGC， 在△DGC和△PGC中 解答： ， ∴△DGC≌△PGC， ∴PC=AD=DC，和∠DCG=∠PCG=15°， 同理PB=AB=DC=PC， ∠PCB=90°﹣15°﹣15°=60°， ∴△PBC是正三角形． 5

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