2015-2016学年福建省泉州市养正中学、安溪一中、惠安一中联考高(3)

【分析】由题意，由图可知，[5，10）的频率为0.06×5=0.3，[10，15）的频率为0.1×5=0.5，则[15，20）的频率为1﹣0.3﹣0.5=0.2，所以由图可估计样本重量的中位数．

【解答】解：由图可知，[5，10）的频率为0.06×5=0.3，[10，15）的频率为0.1×5=0.5，则[15，20）的频率为1﹣0.3﹣0.5=0.2， 则众数落在[10，15）内，

（10+15）=12.5，

由图可估计样本重量的众数为12.5， 故答案为：12.5． 14．函数

的单调递增区间为 （﹣∞，﹣），（ ，+∞） ．【考点】利用导数研究函数的单调性．

【分析】求出f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递增区间即可．

【解答】解：∵

，

∴f′（x）=x2﹣2，

令f′（x）＞0，解得：x＞或x＜﹣， 故函数的单调递增区间是（﹣∞，﹣），（，+∞）．

15．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF| 5 ． 【考点】抛物线的简单性质．

【分析】运用抛物线的定义，设Q到l的距离为d，求出斜率，求得直线PF的方程，与y2=8x联立可得x=3，利用|QF|=d可求．

【解答】解：设Q到l的距离为d，则由抛物线的定义可得，|QF|=d， ∵=4，则Q在PF的延长线上， ∴|PQ|=5d，

∴直线PF的斜率为﹣

=﹣2

，

∵F（2，0），

∴直线PF的方程为y=﹣2（x﹣2）， 与y2=8x联立可得x=3，（由于Q的横坐标大于2） ∴|QF|=d=3+2=5， 故答案为：5 16．已知

在x=x0处取最大值，以下结论：

⑤

①f（x0）＜x0②f（x0）=x0③f（x0）＞x0④其中正确的序号为 ②④ ．

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．

【分析】求函数的定义域和函数的导数，研究函数单调性和极值，利用极值最值的关系确定f（x0）的值，进行判断即可． 【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），f（x）=（﹣

）lnx，

函数的导数f′（x）=（﹣设h（x）=﹣lnx﹣x﹣1， 则h′（x）=﹣

﹣1=

）′lnx﹣?=，

，则当x＞0时，h′（x）＜0，

即h（x）在（0，+∞）上为减函数， ∵h（

）=ln2﹣

＜lne﹣

=﹣

＜0，当x→0时，h（x）＞0，

∴在（0，

）内函数h（x）有唯一的零点x0，即h（x0）=﹣lnx0﹣x0﹣1=0，

即lnx0=﹣1﹣x0，

当0＜x＜x0，f′（x）＞0，

当x＞x0，f′（x）＜0，即函数f（x）在x=x0处取得最大值， 即f（x0）=（﹣

）?lnx0=（﹣

）?（﹣1﹣x0）=x0，

故答案为：②④．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．已知命题P：﹣2≤x≤10，q：x≥1+a或x≤1﹣a，a＞0，若?p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．

【分析】分别化简命题p，q，可得￢p，再利用?p是q的充分不必要条件，即可得出．

【解答】解：∵命题P：﹣2≤x≤10，∴￢p：x＜﹣2，或x＞10． q：x≥1+a或x≤1﹣a，a＞0， ∵?p是q的充分不必要条件， ∴

，a＞0，解得0＜a≤3．

∴a的取值范围是（0，3]．

18．为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如下：

（Ⅰ）估计该校学生身高在170～185cm之间的概率；

（Ⅱ）从样本中身高在180～190cm之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185～190cm之间的概率．

【考点】古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图． 【分析】（1）由图可知样本中身高在170～185cm之间的学生有14+13+4+3+1，样本容量为70，得到样本中学生身高在170～185cm之间的频率．用样本的频率来估计总体中学生身高在170～180cm之间的概率．

（2）由题意知本题是一个古典概型，通过列举法看出试验发生包含的所有事件数，再从这些事件中找出满足条件的事件数，根据古典概型公式，得到结果．

【解答】解：（1）∵样本中身高在170～185cm之间的学生有14+13+4+3+1=35人，

样本容量为700×10%=70，

∴样本中学生身高在170～185cm之间的频率f=

，

故可估计该校学生身高在170～180cm之间的概率p=0.5；

（2）样本中身高在180～185cm之间的男生有4人，设其编号为①，②，③，④，

样本中身高在185～190cm之间的男生有2人，设其编号为⑤，⑥， 从上述6人中任取2人的树状图为：

∴从样本中身高在180～190cm之间的男生中任选2人得所有可能结果数为15，

求至少有1人身高在185～190cm之间的可能结果数为9， ∴所求概率p2=

．

19．已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点． （Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）已知圆M：x2+（y﹣5）2=9，双曲线G与椭圆C有相同的焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程． 【考点】椭圆的简单性质．

【分析】（Ⅰ）设椭圆的方程为mx2+ny2=1，（m，n＞0，m≠n），代入点的坐标，解得m，n，进而得到椭圆的方程；

（Ⅱ）设双曲线G的方程为﹣=1（a，b＞0），运用焦点坐标，以及直线

和圆相切的条件：d=r，解方程可得a，b，进而得到双曲线的方程．

【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的方程为mx2+ny2=1，（m，n＞0，m≠n）， 由题意可得50m=1，25n=1， 解得m=

，n=

，

即有椭圆的方程为+=1；

（Ⅱ）设双曲线G的方程为由题意可得a2+b2=25， 渐近线方程为y=±x，

﹣=1（a，b＞0），

圆M：x2+（y﹣5）2=9的圆心为（0，5），半径为3． 由直线和圆相切的条件：d=解得a=3，b=4， 即有双曲线的方程为

﹣

=1．

=3，

20．已知某公司为上海世博会生产某特许商品，该公司年固定成本为10万元，每生产千件需另投入2.7万元，设该公司年内共生产该特许商品x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R（x）万元，且R（x）

=．

（Ⅰ）写出年利润W（万元）关于该特许商品x（千件）的函数解析式； （Ⅱ）年产量为多少千件时，该公司在该特许商品的生产中所获年利润最大？ 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数解析式的求解及常用方法． 【分析】（Ⅰ）当0＜x≤10时，W=xR（x）﹣（10+2.7x）=8.1x﹣x＞10时，W=xR（x）﹣（10+2.7x）=98﹣

﹣10，当

﹣2.7x，由此能求出年利润W

（万元）关于该特许商品x（千件）的函数解析式．

（Ⅱ）当0＜x≤10时，由W′=8.1﹣=0，得x=9，推导出当x=9时，W取最

大值，且wmax=38.6；当x＞10时，W≤38．由此得到当年产量为9千件时，该公司在该特许商品生产中获利最大． 【解答】解：（Ⅰ）当0＜x≤10时， W=xR（x）﹣（10+2.7x）=8.1x﹣

﹣10，

﹣2.7x，

当x＞10时，W=xR（x）﹣（10+2.7x）=98﹣

∴W=．…

（Ⅱ）①当0＜x≤10时， 由W′=8.1﹣

=0，得x=9，且当x∈（0，9）时，w′＞0，

当x∈（9，10）时，w′＜0．

∴当x=9时，W取最大值，且wmax=8.1×9﹣②当x＞10时，W=98﹣（当且仅当

，即x=

）＜98﹣2

时，Wmax=38．

﹣10=38.6．…

=38，

综合①、②知x=9时，W取最大值．…

所以当年产量为9千件时，该公司在该特许商品生产中获利最大．…

21．已知拋物线C：x2=2py（p＞0）上的一点M（m，1）到焦点F的距离为2．

（Ⅰ）求抛物线C的方程；

（Ⅱ）直线l过抛物线C的焦点F与抛物线交于A，B两点，且AA1，BB1都垂直于直线

，垂足为A1，B1，直线l1与y轴的交点为Q，求证：

为定值．

【考点】抛物线的简单性质．

【分析】（Ⅰ）根据抛物线的定义，可得1+

=2，求出p，即可即可求抛物线

C的方程；

（Ⅱ）直线l：y=kx+1，代入抛物线方程，可得x2﹣4kx﹣4=0，利用韦达定理，分别求出面积，即可得出结论． 【解答】解：（Ⅰ）∵拋物线C：x2=2py（p＞0）上的一点M（m，1）到焦点F的距离为2，

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