熊伟第二版 运筹学1-6章参考答案 1(3)

1.8 将下列线性规划化为标准形式

maxZ?x1?4x2?x3?2x1?x2?3x3?20(1)??5x1?7x2?4x3?3??10x1?3x2?6x3??5?x?0,x?0,x无限制23?1

'''【解】（1）令x3?x3?x3,x4,x5,x6为松驰变量 ，则标准形式为

maxZ?x1?4x2?x3?x3'''?2x1?x2?3x3?3x3?x4?20?''' ?5x1?7x2?4x3?4x3?x5?3?'''??10x1?3x2?6x3?6x3?x6?5?x,x,x',x'',x,x,x?0?1233456'''minZ?9x1?3x2?5x3?|6x1?7x2?4x3|?20? (2) ?x1?5

??x1?8x2??8?x?0,x?0,x?023?1【解】（2）将绝对值化为两个不等式，则标准形式为

maxZ???9x1?3x2?5x3?6x1?7x2?4x3?x4?20??6x1?7x2?4x3?x5?20? ??x1?x6?5??x?8x?82?1??x1,x2,x3,x4,x5,x6?0maxZ?2x1?3x2?1?x1?5 (3)???x1?x2??1?x?0,x?02?1【解】方法1：

maxZ?2x1?3x2?x1?x3?1? ?x1?x4?5??x1?x2?1?x,x,x,x?0?1234方法2：令x1??x1?1,有x1＝x1??1,x1??5?1?4 maxZ?2(x1??1)?3x2?x1??4???(x1??1)?x2??1?x,x?0?12则标准型为

maxZ?2?2x1??3x2?x1??x3?4???x1??x2?0?x?,x,x?0?123maxZ?min(3x1?4x2,x1?x2?x3)?x1?2x2?x3?30?(4) ?4x1?x2?2x3?15??9x1?x2?6x3??5?x无约束,x、x?023?1

??x1??，线性规划模型变为 【解】令y?3x1?4x2,y?x1?x2?x3,x1?x1maxZ?y?y?3(x1??x1??)?4x2?y?x1??x1???x2?x3?? ?x1??x1???2x2?x3?30?????4(x1?x1)?x2?2x3?15?9(x??x??)?x?6x??51123???x1?,x1??,x2、x3?0标准型为

maxZ?y?y?3x1??3x1???4x2?x4?0?y?x1??x1???x2?x3?x5?0?? ?x1??x1???2x2?x3?x6?30?????4x1?4x1?x2?2x3?x7?15??9x??9x???x?6x?x?511238???x1?,x1??,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8?0

1.9 设线性规划

maxZ?5x1?2x2?2x1?3x2?x3?50 ?4x?2x?x?60?124?x?0,j?1,?,4?j?2取基B1?(P1，P3)???41??2?、B2＝?0??40?分别指出B1和B2对应的基变量和非基变量，?，1?求出基本解，并说明B1、B2是不是可行基．

【解】B1：x1，x3为基变量，x2，x4为非基变量,基本解为X=（15，0，20，0）T，B1是可行基。B2：x1,x4是基变量，x2,x3为非基变量，基本解X=（25，0，0，－40）T，B2不是可行基。

1.10分别用图解法和单纯形法求解下列线性规划，指出单纯形法迭代的每一步的基可行解对应于图形上的那一个极点．

maxZ?x1?3x2??2x1?x2?2 (1)?

2x?3x?12?12?x,x?0?12【解】图解法

单纯形法： C(j) C(i) 0 0 3 0 3 1 对应的顶点： 基可行解 、X(1)=（0，0，2，12） 1 Basis X3 X4 X2 X4 X2 X1 X1 -2 2 1 -2 [8] 7 0 1 0 3 X2 [1] 3 3 1 0 0 1 0 0 0 X3 1 0 0 1 -3 -3 0.25 -0.375 -0.375 0 X4 0 1 0 0 1 0 0.25 0.125 -0.875 b 2 12 0 2 6 6 7/2 3/4 45/4 Ratio 2 4 M 0.75 C(j)-Z(j) C(j)-Z(j) C(j)-Z(j) 可行域的顶点 （0，0） （0，2） (37,) 42、X=（0，2，0，6，） X(3)=（3737、,,0,0) 42454(2)最优解X?(,),Z?42

minZ??3x1?5x2?x1? (2) ?x1??x1?x?1?2x2?6?4x2?10?x2?4?0,x2?0

【解】图解法

单纯形法： C(j) Basis X3 X4 X5 C(j)-Z(j) X3 X2 X5 C(j)-Z(j) X1 X2 X5 C(j)-Z(j) X1 X2 X4 C(j)-Z(j) -3 -5 0 -3 -5 0 0 -5 0 C(i) 0 0 0 -3 X1 1 1 1 -3 [0.5] 0.25 0.75 -1.75 1 0 0 0 1 0 0 0 -5 X2 2 [4] 1 -5 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 X3 1 0 0 0 1 0 0 0 2 -0.5 -1.5 3.5 -1 1 -3 2 0 X4 0 1 0 0 -0.5 0.25 -0.25 1.25 -1 0.5 [0.5] -0.5 0 0 1 0 0 X5 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 2 -1 2 1 b 6 10 4 0 1 2.5 1.5 -12.5 2 2 0 -16 2 2 0 -16

Ratio 3 2.5 4 2 10 2 M 4 0

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