【解析版】河南省漯河市舞阳县2015年中考数学一模试卷(5)

又∵点A在一次函数图象上， ∴1+m=6， 解得m=5，

∴一次函数的解析式为y1=x+5；

∵第一象限内点C到y轴的距离为3， ∴点C的横坐标为3， ∴y==2，

∴点C的坐标为（3，2），

过点C作CD∥x轴交直线AB于D， 则点D的纵坐标为2， ∴x+5=2， 解得x=﹣3，

∴点D的坐标为（﹣3，2）， ∴CD=3﹣（﹣3）=3+3=6， 点A到CD的距离为6﹣2=4， 联立

，

解得（舍去），，

∴点B的坐标为（﹣6，﹣1），

∴点B到CD的距离为2﹣（﹣1）=2+1=3， S△ABC=S△ACD+S△BCD=×6×4+×6×3=12+9=21．

点评： 本题考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，根据已知条件先判断出点A的横坐标是解题的关键．

22．在矩形ABCD中，点F在AD延长线上，且DF=DC，M为AB边上一点，N为MD的中点，点E在直线CF上（点E、C不重合）． （1）如图1，若AB=BC，点M、A重合，E为CF的中点，试探究BN与NE的位置关系及并证明你的结论；

的值，

如图2，且若AB=BC，点M、A不重合，BN=NE，你在（1）中得到的两个结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由；

（3）如图3，若点M、A不重合，BN=NE，你在（1）中得到的结论两个是否成立，请直接写出你的结论．

考点： 四边形综合题． 专题： 压轴题． 分析： （1）易证四边形ABCD是正方形，证明△NGE≌△BAN，即可得到∠1+∠3=90°，则BN⊥NE，然后根据三角函数即可利用正方形的边长表示吃CE的长度，则可以得到

的值；

延长BN交CD的延长线于点G，连接BE、GE，过E作EH⊥CE，易证△BMN≌△GDN，则可以证得NE是△BGE边上的中线，且NE=BG，从而得到△BGE是直角三角形，从而得到BN⊥NE，然后证明△CHE是等腰直角三角形，而BM=CH，即可证得； （3）同可以延长BN交CD的延长线于点G，连接BE、GE，过E作EH⊥CE，可以证得NE是△BGE边上的中线，且NE=BG，从而得到△BGE是直角三角形，然后证明△NGE≌△BAN，从而得到BN⊥NE；当AB≠BC时，E，C，D不在一条直线上，因而比值的关系不成立． 解答： 解：（1）BN与NE的位置关系是BN⊥NE；

=

．

证明：如图，过点E作EG⊥AF于G，则∠EGN=90°． ∵矩形ABCD中，AB=BC， ∴矩形ABCD为正方形．

∴AB=AD=CD，∠A=∠ADC=∠DCB=90°． ∴EG∥CD，∠EGN=∠A，∠CDF=90°． ∵E为CF的中点，EG∥CD， ∴GF=DG=∴

．

．

∵N为MD（AD）的中点， ∴AN=ND=

．

∴GE=AN，NG=ND+DG=ND+AN=AD=AB． ∴△NGE≌△BAN． ∴∠1=∠2． ∵∠2+∠3=90°， ∴∠1+∠3=90°．

∴∠BNE=90°． ∴BN⊥NE．

∵∠CDF=90°，CD=DF， 可得∠F=∠FCD=45°，

．

于是．

在（1）中得到的两个结论均成立．

证明：如图，延长BN交CD的延长线于点G，连接BE、GE，过E作EH⊥CE， 交CD于点H．

∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CG．

∴∠MBN=∠DGN，∠BMN=∠GDN． ∵N为MD的中点， ∴MN=DN．

∴△BMN≌△GDN． ∴MB=DG，BN=GN． ∵BN=NE， ∴BN=NE=GN．

∴∠BEG=90°． ∵EH⊥CE， ∴∠CEH=90°． ∴∠BEG=∠CEH． ∴∠BEC=∠GEH． 由（1）得∠DCF=45°． ∴∠CHE=∠HCE=45°． ∴EC=EH，∠EHG=135°．

∵∠ECB=∠DCB+∠HCE=135°， ∴∠ECB=∠EHG． ∴△ECB≌△EHG． ∴EB=EG，CB=HG． ∵BN=NG， ∴BN⊥NE．

∵BM=DG=HG﹣HD=BC﹣HD=CD﹣HD=CH=CE， ∴

（3）BN⊥NE；

不一定等于

．

=

；

证明：可以延长BN交CD的延长线于点G，连接BE、GE，过E作EH⊥CE．GE交AD于点Q． 同可以证得：△BMN≌△GDN，

则BN=NG=NE，则△BEG是直角三角形，∠BEG=90°，

与相同，可证：△ECB≌△HCG， ∴EB=EG，CB=CG． ∵BN=NG， ∴BN⊥NE．

同可得：GQ=CE≠DG=BM， 故

不一定等于

（只有当Q与D重合时才相等）．

点评： 本题是正方形的判定，全等三角形的判定与性质的综合应用，正确证明边之间的关系，正确作出辅助线是关键．

23．如图，在平面直角坐标系xOy中，AB⊥x轴于点B，AB=3，tan∠AOB=，将△OAB绕着原点O逆时针旋转90°，得到△OA1B1；再将△OA1B1绕着线段OB1的中点旋转180°，得到△OA2B1，

2

抛物线y=ax+bx+c（a≠0）经过点B、B1、 A2．

（1）求抛物线的解析式．

在第三象限内，抛物线上的点P在什么位置时，△PBB1的面积最大？求出这时点P的坐标． （3）在第三象限内，抛物线上是否存在点Q，使点Q到线段BB1的距离为的坐标；若不存在，请说明理由．

？若存在，求出点Q

考点： 二次函数综合题． 专题： 压轴题．

分析： （1）首先根据旋转的性质确定点B、B1、A2三点的坐标，然后利用待定系数法求得抛物线的解析式；

求出△PBB1的面积表达式，这是一个关于P点横坐标的二次函数，利用二次函数求极值的方法求出△PBB1面积的最大值；值得注意的是求△PBB1面积的方法，如图1所示；

（3）本问引用了问中三角形面积表达式的结论，利用此表达式表示出△QBB1的面积，然后解一元二次方程求得Q点的坐标．

解答： 解：（1）∵AB⊥x轴，AB=3，tan∠AOB=，∴OB=4， ∴B（﹣4，0），B1（0，﹣4），A2（3，0）．

2

∵抛物线y=ax+bx+c（a≠0）经过点B、B1、A2，

∴，

解得

∴抛物线的解析式为：y=x+x﹣4．

点P是第三象限内抛物线y=x+x﹣4上的一点， 如答图1，过点P作PC⊥x轴于点C．

设点P的坐标为（m，n），则m＜0，n＜0，n=m+m﹣4．

于是PC=|n|=﹣n=﹣m﹣m+4，OC=|m|=﹣m，BC=OB﹣OC=|﹣4|﹣|m|=4+m． S△PBB1=S△PBC+S梯形PB1OC﹣S△OBB1

=×BC×PC+×（PC+OB1）×OC﹣×OB×OB1

2

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