整体把握与实践高中数学新课程—与高中数学教师对话(8)

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对函数的初步认识，这种说法不完全，变量与变量的依赖关系，从一个方面，揭示了函数的本质。函数是一个变量与另一个变量之间的一座桥，学习了映射，会对“桥”有更深入的理解。

（2）在高中阶段，学习的知识更加丰富了。我们利用更丰富的实例引导学生认识到，函数是刻画日常生活和其他学科规律的重要数学模型。在高中数学中，函数模型应该占有很重要的地位。我们在任何一个生活情景中，例如，邮局、加油站、机场等等，都会发现许多描述规律的函数关系。在其他学科，如物理、化学、生物、地理、社会、经济等学科中，描述规律的函数关系比比皆是。参看以下实例。

例如，人们早就发现了放射性物质的衰减（衰变）现象．在考古工作中，常用碳14（14C）的含量来确定有机物的年代．已知放射性物质的衰减服从指数规律：

C(t)＝C0e?rt．

其中t表示衰减的时间，C0表示放射性物质的原始质量，C(t)表示经衰减了t（年）后尚存的质量，e是一个无理数常数，约等于2.72.

为计算衰减的年代，通常给出该物质质量衰减一半的时间，称其为该物质的半衰期，碳14C的半衰期大约是5730年，由此可确定系数r．人们又知道，放射性物质的衰减速度是与其质量成正比的．

1950年在巴比伦发现一根刻有Hammurbi王朝字样的木炭，当时测定，其碳

14

C分子的衰减速度为4.09个/每克每分钟，而新砍

14

伐烧成的木炭中碳C的衰减速度为6.68个/每克每分钟．我们可

以估算出Hammurbi王朝所在年代．

事实上，因为碳14C的半衰期是5730年．所以建立方程

1＝e－5730r． 2解得 r＝0.000121，由此可知碳14C的衰减规律服从指数型函数

C(t)＝C0e－0.000121t．

设发现Hammurbi王朝木炭的时间（1950年）为Hammurbi王朝时期后的t0年．因为放射性物质的衰减速度是与其质量成正比的，所以

C(t0)4.09． ?C06.68于是 e?0.000121t0?4.09． 6.68两边取常用对数，得 －0.000121t0＝ln4.09－ln6.68 ．

得t0＝4054 (年)．即Hammurbi王朝大约存在于公元前2100年．

（3）在此基础上，进一步抽象概括出函数的严格数学定义。函数关系像一座桥梁把两个变量联系起来，形象的说，在直角坐标系中，函数图像就像一座桥梁把变量x和y联系起来了。

（4）知道了函数的定义之后，再去研究它的性质。

我们先让学生认识一些具体函数的模型，例如，分段函数，简单的幂函数、指

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数函数与对数函数、三角函数。结合这些函数，我们引入了刻画函数变化的单调性、周期性、奇偶性等基本的性质。

单调性是中学阶段函数最基本的性质之一。一旦我们弄清了一个函数的单调性，就能刻画出这个函数图形的基本形状，以及这个函数变化的基本状况。例如，简单的幂函数y=x3，当我们知道它在整个实数范围内是单调递增的，那么就可以刻画出函数y=x3的图形的基本形状以及它的变化。

周期性也是中学阶段函数的一个最基本的性质。我们生活在一个周期变化的世界里。因此，学会用周期的观点来看待周围事物的变化是非常重要的。周期函数，比如，正余弦函数、正余切函数都是刻画周期变化的函数模型。用周期的观点来研究函数，可以使我们集中研究函数在一个周期里的变化，在此基础上，就可以了解函数在整个定义域内的变化情况。

奇偶性也是我们在中学阶段要研究的函数的性质，但是它不是最基本的性质。奇偶性反应的是函数图形的对称性质，可以帮助我们更加准确和集中地研究函数的变化规律。

（5）在高中数学课程中，通过函数的学习逐步形成了映射的思想和映射的定义，函数是两个实数集合之间的一种对应关系，而映射是两个集合之间的一种对应关系。映射能够帮助我们更好的理解两类物体之间的“桥梁关系”。映射的思想和函数的思想在本质上是一样的，只是它们连接的两类对象不同。在运用函数（映射）的思想解决问题的过程中，会不断加深对于函数桥梁作用的理解。

（6）函数的思想在其他部分数学内容的学习中发挥着重

y 要作用。

当我们用函数的观点来看待方程的时候，由函数y=f(x) A 14 所决定的方程是y=f(x)=0，求方程的解就变成了思考函数图形与x轴的相交关系，变成了考虑函数的局部性质。能否运

C 6 用函数整体的性质去讨论方程的求解问题呢？在高中课程中

我们介绍了二分法求解方程。这种二分法解方程体现了这样一种思想：用函数的整体性质讨论函数的局部性质。具体来

?4 0 4 x 说，在[a,b]上，给定一个连续函数，若f(a)与f(b)的符号不相同，那么函数图像会从（a, f(a)）点出发穿过x轴到达（b, f(b)） B ?6点。这样的性质就能帮助我们运用二分法近似的求出方程的

解。

例如，判断方程x2?x?6=0的根的存在性。

我们可以考察函数f(x)＝x2?x?6，其图象为抛物线，如图。 容易看出，f(0) = ?6＜0，f (4) = 6＞0，f(?4) =14＞0，

由于函数f(x)的图象是连续曲线，因此点B(0, ?6)与点C(4, 6)之间的那部分曲线必然穿过x轴，即在区间(0, 4)内必有一点x1，使f(x1)＝0；同样，在区间(?4, 0)内也必有一点x2，使f(x2)＝0。所以，方程x2?x?6=0有两个实根。我们可以用学过的解方程的方法来验证这个结论。

用函数的观点来讨论不等式的问题会有很大的“好处” 。不等式是高中必修课程中一个重要的内容，例如，一元二次不等式，简单的线性规划问题，用函数的观点看待这些问题，有助于更好的理解这些知识本身。

在高中课程中，函数与数列、函数与导数及其应用、函数与算法、函数与概率中的随机变量、函数与选修3、4中的大部分专题内容都有着密切的联系。用函数（映射）

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的思想去理解这些内容，是非常重要的一个出发点。反过来，通过这些内容的学习，更加深了对于函数思想的认识。

（7）在大学的数学中，函数（映射）的思想依然发挥着重要的作用。例如，数学系的课程中，数学分析、实变函数、复变函数、常微分方程、偏微分方程、泛函分析等等。这些学科都是从不同角度研究函数所构成的课程。值得一提的是，在对其他课程的学习中，函数（映射）思想仍然起到了重要的作用，例如，群结构中的同态、同构；度量结构中的保距；拓扑结构中的连续、同胚；序结构中的保序、同构；等等。这些都是极其重要的映射。

综上所述，函数思想是高中数学课程的一条主线，从一个角度链接起了高中数学课程的许多内容。有了这条主线就可以把数学的知识编织在一起，这样可以使我们对知识的掌握更牢固一些。

我们学习数学是“线性序”，但数学本身不是“线性的”。我们可以从一个知识出发，推出后面的知识，同样我们也可以从另一个知识出发，按照一定的顺序推出来。如果我们对这个网有了深刻的认识，可以从不同的角度从局部到整体，再从整体到局部，把所学的知识有机地联系起来。

为了在高中数学课程中贯穿这一主线，在教学时，应把握以下几点。 （1）对函数的研究一定不能停留在抽象的讨论。教师应该帮助学生在头脑中建立起几个重要的模型，并把这些留在头脑中。

学生应该在头脑中留下几个具体的实际模型，比如，分段函数，以及基本的函数模型，比如，简单的幂函数、指数函数与对数函数、三角函数。结合这些函数，不断地加深对于函数的定义、性质以及函数研究方法的理解。再通过这些模型，理解函数与其他数学知识之间的联系，例如，指数函数的性质：a α+β=aα?aβ 。不严格地说，它把定义域中的加法运算变成了函数值的乘积运算。所以当a>1时，指数函数增长得很快的原因就在于此。

（2）函数的教学一定要突出函数图形的地位。不管是用解析式、图表法还是图像法去刻画一个具体函数时，我们都要让学生在脑子里形成一个图形。只有把握住图形才能把握住一个函数的整体情况，这样的学习习惯有助于提高运用几何思想、把握图形的能力。所以，我们常常说学习函数要体现数形结合。

（3）函数是刻画客观世界的一个基本数学模型。因此，对于函数的学习，应该与体会、感受和运用函数解决问题有机的结合起来。应该引导学生去思考函数的应用问题，特别是思考函数在日常生活和其他学科的应用。可以在教学中渗透数学建模的思想。

例如，心电图就是一种时间和心跳频率的函数关系。

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例如，股市行情图也是反映了一种函数关系。

（4）在学习与函数知识有关内容时，理解函数思想。实际上，在整个高中数学课程中，都需要不断地体会、理解“函数思想”给我们带来的“好处”。

10、为什么“运算思想”是高中数学课程的主线之一？

（1）运算思想是数学中最重要的思想之一。代数问题就是运用运算法则可以解决的问题。学生进入学校的第一课，就要学习认识数，进行数的计算。我们做过对数学理解的调查，“数学就是算”，这是最多的回答，“运算”是数学教育最深入人心的内容和思想。对运算思想来说，运算对象和运算规律是最基本的东西。在中小学的数学教育，有三次大的飞跃需要给与特别的关注。数和数的运算是中小学数学课程的最基本的内容；字母代替数，代数式的运算是一次重大的飞跃，它奠定了表示各种数学规律的基础，运用运算规律进行恒等变形构成学习、理解数学的基本技能；引入向量和有关向量的各种运算，这是又一次飞跃，形成了一个新的运算体系，其中的运算比实数要丰富得多。向量不仅是代数对象，也是几何的对象，从而向量成为联系代数和几何的一座“天然的桥梁”，这为我们开辟了数学的一个新的天地。“运算”不仅自成体系，

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更重要的是它渗透到数学的每一个“角落”。

（2）从自然数、整数、有理数、实数、复数，构成了一个数系扩充的链。实际的需求是数系扩充的动力之一，保持运算的封闭和保持基本运算法则成立是数系扩充的另一个动力。

（3）字母代替数，字母构成的代数式，以及它们所保持的运算法则等，是呈现高中课程内容的基本载体。灵活的运用这些运算法则进行恒等变形，是掌握高中课程内容的基本技能。

（4）向量进入中学，这是中学课程的一个重大的变化，向量是一个重要的运算对象，向量的加法、向量的减法是向量自身的运算，向量的数乘是两种运算对象的运算，向量与向量的数量积是一种新的运算形式，它们蕴含着一些运算的规律。从代数上来说，向量极大的丰富了运算规律，使得我们对运算的认识提高到一个新的水平。（V , R, + ,·）构成了代数的新的运算模型，它是线性空间最生动的范例。(V， R，+，.，║║)构成了代数与拓扑密切联系的模型，它是泛函分析中线性赋范空间最生动的范例。还要特别指出的是，尽管向量的内涵很丰富，但是，作为数学研究对象来说，它还是简单、易懂并且容易掌握的。用向量解决几何问题，充分体现了运算的作用。运算在研究其他数学问题中也发挥重要的作用。

（5）在高中课程中，有两部分内容集中的介绍了运算：一部分是向量，包括平面向量和空间向量；另一部分是数系的扩充与复数。

（6）在高中课程的其他内容中，也渗透了一些其他的运算对象和运算规律，例如，在指数、对数、三角函数等内容的学习中，蕴含着一些新的运算法则。掌握这些特殊的运算规律，是理解相关的数学概念的基础。

（7）高中数学课程中，有各种各样的恒等变形。这些恒等变形就是运用各种运算法则进行的。全面地梳理高中课程中的运算对象和运算法则是非常有意义的，比较不同运算对象、不同的运算法则，发现、思考它们之间的联系。例如，在不等式等的学习中，无论是证明，还是求解，都是在运用各种运算法则进行恒等变形，通过恒等变形把我们不会解的问题变成我们会解的问题。

11、为什么“几何思想（把握图形）”是高中数学课程主线之一？

（1）在这次数学课程标准研制过程中，几何是我们花费心思最多的内容之一。在数学课程中，几何是“图”“文”并茂的内容，它把数学所特有的逻辑思维和形象思维有机地结合起来。几何思想主要体现在把握图形的能力。把握图形的能力包括空间想象力、直观洞察力、用图形的语言来思考问题的能力。借助几何这个载体，可以培养学生的逻辑推理能力。

（2）几何课程的设计分为两部分，一部分是几何本身；另一部分是运用几何思想、把握图形的能力去思考其他的数学问题。重视几何内容本身是共识，但是，在学习其他数学内容时，如何运用几何思想、把握图形的能力去学习其它的数学，没有引起足够的重视。最近，我们听了很多课，最令我们感到遗憾的，教师不太喜欢“画图”，讲解析几何也不画图，在思考一些问题时，学生常常容易“漏掉”一些解。如果教师在解决问题时，引导学生画个图，则就会一目了然。当代著名数学Atya说过‘代数是有序逻辑，几何是直观逻辑。’这是非常有道理的。逻辑推理是数学特别关注的，所有数学都应该关注，几何也不例外，但是，我们必须重视培养学生把握图形的能力，包括

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