概率论和数理统计 - 复旦大学 - 课后题答案 - 一到五章(6)

求一螺栓为不合格品的概率. 【解】P(|X?10.05|?0.12)?P???X?10.050.06?0.12?? 0.06?

?1??(2)???0.0456(?2)?2[??1

2

(23.一工厂生产的电子管寿命X（小时）服从正态分布N（160，σ），若要求P{120＜X≤200}

≥0.8，允许σ最大不超过多少？ 【解】P(120?X?200)?P160??120?160?X?160?200??????? ? ???40??40????????2??40??1?0. 8????????????故 ??401.29?31.25

24.设随机变量X分布函数为

=??A?Be?xtF（x）,x?0,0),

?0,x?0.(??（1） 求常数A，B；

（2） 求P{X≤2}，P{X＞3}； （3） 求分布密度f（x）.

?【解】（1）由??xlim???F(x)?1?A?1??xlim?0?F(x)?得?B??1

xlim?0?F(x)?（2） P(X?2)?F(2)?1?e?2?

P(X?3)?1?F(3)?1?(1?e?3?)?e?3?

)?F?(x)????e??x(3) f(x,x?0?0,x?0

25.设随机变量X的概率密度为

?x,0?x?1,f（x）=??2?x,1?x?2, ??0,其他.求X的分布函数F（x），并画出f（x）及F（x）.

【解】当x<0时F（x）=0

当0≤x<1时F(x)??x??f(t)dt??0??f(t)dt??x0f(t)dt

26

??x0tdt?x22x??0??1

当1≤x<2时F(x)?????f(t)dt f(t)dt??10f(t)dt??x1f(t)dttdt?x(2?t)dt?0?1

1x2

?2?2x?2?32??x22?2x?1当x≥2时F(x)??x

??f(t)dt?1?0,x?0?2?x,0?x?1故 F(x)???2

?2??x?2x?1,1?x?2?2?1,x?226.设随机变量X的密度函数为

（1） f(x)=ae??|x|,λ>0;

?bx,0?x?1,(2) f(x)=??12,1?x?2, ?x?0,其他.试确定常数a,b，并求其分布函数F（x）.

【解】（1） 由??f(x)dx????1知1???|x|??ae?dx?2a????x0edx?2a?

故 a??2

??e??x,x?0即密度函数为 f(x)????2

????2e?xx?0当x≤0时F(x)??x??f(x)dx??x??x??2edx?12e?x

当x>0时F(x)??xf(x)dx??0??xx????2edx???02e??xdx

?1?1?x2e?

27

故其分布函数

1??x?1?e,??2F(x)???1e?x,??2x?0 x?0(2) 由1???)dx??111??f(x0bxdx??21x2dx?b2?2

得 b=1 即X的密度函数为

?x,0?x?1?f(x)???11?x?2 ?x2,??0,其他当x≤0时F（x）=0 当0

??xx20xdx?2

当1≤x<2时F(x)??xf(x)dx??00dx??1xdx??x1????01x2dx ?312?x

当x≥2时F（x）=1

故其分布函数为

?0,x?0?x2?0?x?1F(x)???2,

?3??1,1?x?2?2x?1,x?227.求标准正态分布的上?分位点， （1）?=0.01，求z?; （2）?=0.003，求z?，z?/2. 【解】（1） P(X?z?)?0.01

即 1??(z?)?0.0 1即 ?(z?)?0.0 9

28

故 z??2.3 3（2） 由P(X?z?)?0.003得

1??(z?)?0.003

即 ?(z?)?0.99 7查表得 z??2.7 5由P(X?z?/2)?0.0015得

1??(z?/2)?0.0015

即 ?(z?/2)?0.9985 查表得 z?/2?2.96

28.设随机变量X的分布律为 X Pk ?2 ?1 0 1 3 1/5 1/6 1/5 1/15 11/30 求Y=X2的分布律. 【解】Y可取的值为0，1，4，9

P(Y?0)?P(X?0)?1516?115?730P(Y?1)?P(X??1)?P(X?1)?P(Y?4)?P(X??2)?P(Y?9)?P(X?3)?15

1130故Y的分布律为 Y Pk 0 1 4 9 1/5 7/30 1/5 11/30 1229.设P{X=k}=(

)k, k=1,2,?,令

?1,Y????1,当X取偶数时当X取奇数时.

求随机变量X的函数Y的分布律.

【解】P(Y?1)?P(X?2)?P(X?4)???P(X?2k)??

29

?(1?1(k2 2)2?(14

2)??2)??

?(14)/(?114?)13P(Y??1)?1?P(Y?1)?23

30.设X~N（0，1）.

（1） 求Y=eX

的概率密度； （2） 求Y=2X2+1的概率密度； （3） 求Y=｜X｜的概率密度.

【解】（1） 当y≤0时，FY(y)?P(Y?y)?0

当y>0时，FY(y)?P(Y?y)?P(ex?y)?P(X?lny)

??lny??fX(x)dx

故 fdFY(y)?11/2Y(y)?dyyfx(lny)?1y2πe?ln2y,y?0(2)P(Y?2X2?1?1)?1

当y≤1时FY(y)?P(Y?y)?0

当y>1时F(Y?y)?P(2X2Y(y)?P?1?y)

?P?y?1?y?1?X2????P???X?y?1??2??2?? ?2? ??(y?1)/2?(y?1)/f2X(x)dx

故 fd2?y?1????Y(y)?dyFY(y)?1?4y?1?f??fy?1?X????2?X?????2??? ??? ?121(y?1)/2y?12πe?,4y?1 (3) P(Y?0)?1

当y≤0时FY(y)?P(Y?y)?0

当y>0时FY(y)?P(|X|?y)?P(?y?X?y)

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