概率论和数理统计 - 复旦大学 - 课后题答案 - 一到五章(5)

布，而与时间间隔起点无关（时间以小时计）.

（1） 求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率；

（2） 求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率.

【解】（1）P(X?0)?e?32 (2) P(X?1)?1?P(X?0)?1?e?52

k2?k11.设P{X=k}=Ck, k=0,1,2 p(1?p)2m4?mP{Y=m}=Cm, m=0,1,2,3,4 p(1?p)4分别为随机变量X，Y的概率分布，如果已知P{X≥1}=【解】因为P(X?1)?5959，试求P{Y≥1}.

，故P(X?1)?49.

(?1p )2而 P(X?1)?P(X?0)?故得 (1?p)?即 p?24913.

4 ,从而 P(Y?1)?1?P(Y?0)?1?(1?p)?6581?0.80247

12.某教科书出版了2000册，因装订等原因造成错误的概率为0.001，试求在这2000册书中

恰有5册错误的概率.

【解】令X为2000册书中错误的册数，则X~b(2000,0.001).利用泊松近似计算,

??np?2000?0.001?2

e25!14?25得 P(X?5)?34?0.0018

13.进行某种试验，成功的概率为，失败的概率为.以X表示试验首次成功所需试验的次

数，试写出X的分布律，并计算X取偶数的概率. 【解】X?1,2,?,k,?

1k?13P(X?k)?()

44P(X?2)?P(X?4)???P(X?2k)?? ?1313312k?13??()???()?? 4444441?314?

12451?()4?21

14.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡

的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求： （1） 保险公司亏本的概率;

（2） 保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率. 【解】以“年”为单位来考虑.

（1） 在1月1日，保险公司总收入为2500×12=30000元.

设1年中死亡人数为X，则X~b(2500,0.002)，则所求概率为

P(2000X?30000)?P(X?15)?1?P(X?14)

由于n很大，p很小，λ=np=5，故用泊松近似，有

14P(X?15)?1??e?55k?0.000069

k?0k!(2) P(保险公司获利不少于10000) ?P(3000?020X00?100?P00X)?( 10?5k ??e5?0.986305

k?0k!即保险公司获利不少于10000元的概率在98%以上?

P（保险公司获利不少于20000）?P(30000?2000X?20000)?P(X?5)5 ??e?55k0.615961

k?0k!?即保险公司获利不少于20000元的概率约为62%? 15.已知随机变量X的密度函数为

f(x)=Ae?|x|

, ?∞

求：（1）A值；（2）P{0

???1?????Ae?|x|dx?2??Ae?x0dx?2A

故 A?12.

(2) p(0?X?1)?1?1?x1?120edx?2(1?e) (3) 当x<0时，F(x)??x1x1x??2edx?2e

当x≥0时，F(x)??x1?|x|??2edx??01x??2edx??x102e?xdx

?1?1?x2e

22

?1xe,??2故 F(x)???1?1e?x??2x?0 x?016.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命X的密度函数为

?100?,x?100,f(x)=?x2?x?100.?0,

求：（1） 在开始150小时内没有电子管损坏的概率；

（2） 在这段时间内有一只电子管损坏的概率； （3） F（x）. 【解】

（1） P(X?150)?150?100x2100dx?13.

2383p1?[P(X?150)]?()?

327(2) p2?C311224()? 339x??100??x(3) 当x<100时F（x）=0

当x≥100时F(x)? ? ??f(t)dt f(t)dt?100t2???x100f(t)dt

100dt?1?100x

100?,?1?故 F(x)??x?0,?x?100x?0

17.在区间［0，a］上任意投掷一个质点，以X表示这质点的坐标，设这质点落在［0，a］中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求X的分布函数. 【解】 由题意知X~∪[0,a]，密度函数为

?1?,f(x)??a?0,?0?x?a其他

故当x<0时F（x）=0 当0≤x≤a时F(x)?当x>a时，F（x）=1 即分布函数

?x??f(t)dt??x0f(t)dt??x01adt?xa

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?0,??xF(x)??,?a??1,x?00?x?a x?a18.设随机变量X在[2，5]上服从均匀分布.现对X进行三次独立观测，求至少有两次的观测

值大于3的概率. 【解】X~U[2,5]，即

?1?,f(x)??3?0,?P(X?3)?2?x?5其他

?5313dx?23

故所求概率为

202221323p?C3()?C3()?

3332719.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分钟计）服从指数分布E().某顾客在窗口

51等待服务，若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次，以Y表示一个月内他未等

到服务而离开窗口的次数，试写出Y的分布律，并求P{Y≥1}. 【解】依题意知X~E()，即其密度函数为

5x?1?5?e,f(x)??5?0,?1x?0x?0

该顾客未等到服务而离开的概率为

P(X?10)???1510e?x5dx?e?2

Y~b(5,e),即其分布律为

?2P(Y?k)?C5(e)(1?e)k?2k?25?k,k?0,1,2,3,4,5?25P(Y?1)?1?P(Y?0)?1?(1?e)?0.51672

20.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X服从N（40，10）；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X服从N（50，4）. （1） 若动身时离火车开车只有1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？ （2） 又若离火车开车时间只有45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？ 【解】（1） 若走第一条路，X~N（40，102），则

?x?4060?40?P(X?60)?P?????(2)?0.97727

10??102

24

若走第二条路，X~N（50，4），则

?X?5060?50?P(X?60)?P?????(2.5)?0.9938++

44??2

故走第二条路乘上火车的把握大些. （2） 若X~N（40，10），则

?X?4045?40?P(X?45)?P?????(0.5)?0.6915

1010??2

若X~N（50，42），则

?X?5045?50?P(X?45)?P?????(?1.25)

44?? ?1??(1.25?)故走第一条路乘上火车的把握大些.

00.121.设X~N（3，2），

（1） 求P{2

?1??1???(1)???????(1)?1???? ?2??2?

?0.8413?1?0.6915?0.5328X?310?3???4?3P(?4?X?10)?P????

222?? ????7??7????????0.9996 ?2??2?P(|X|?2)?P(X?2)?P(X??2)

2?32?3?X?3??X?3???P???P????2?22??2??1??5??1??5? ?1???????????????1????

?2??2??2??2??0.6915?1?0.9938?0.6977P(X?3)?P(X?32?3-32)?1??(0)?0.5

(2) c=3

22.由某机器生产的螺栓长度（cm）X~N（10.05,0.062）,规定长度在10.05±0.12内为合格品,

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