鲁教版七年级数学上册复习知识点总结(2)

2.勾股数:满足a +b=c 的三个正整数(即能构成一个直角三角形三边的一组正整数)，称为勾股数(勾股数是正整数)。

规律:一组能构成直角三角形的三边的数,同时扩大或缩小同一倍数(即同乘以或除以同一个正数),仍能够成直角三角形。

一组勾股数的倍数不一定是勾股数,因为其倍数可能是小数,只有整数倍数才仍是勾股数。 常用勾股数:3,4,5(三四五) 9,12,15(3,4,5的三倍) 5,12,13(5.12记一生)

8,15,17(八月十五在一起) 6,8,10(3,4,5的两倍) 7,24,25(企鹅是二百五)

勾股数须知:连续的勾股数只有3,4,5； 连续的偶数勾股数只有6,8,10。 勾股定理的逆定理：

如果三角形的三边长a、b、c满足

，那么这个三角形是直角三角形。

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根据勾股定理逆定理判断一个三角形是否为直角三角形的步骤： (1)确定最大边；

(2)算出最大边的平方，另两边的平方和；

(3)比较最大边的平方与另两边的平方和，如果相等则此三角形是直角三角形。不要盲目比较其中任意一边平方与另两边的平方和的关系。

勾股定理的作用：勾股定理揭示了直角三角形的三边关系，其作用有：

(1)已知直角三角形的任两边，求第三边问题； (2)证明三角形中的某些线段的平方关系； (3)作长为无理数的线段.

注意：若已知直角三角形的两边求第三边时，先确定是直角边还是斜边。若求直角边，则利用勾股定理的变形式或；若求斜边，则利用情况讨论。

题型一：直接考查勾股定理

?C?90?．例１.在?ABC中， 分析：直接应用勾股定理a2?b2?c2

；若不能确定则分以上两种

⑴已知AC?6，BC?8．求AB的长 解：⑴AB?AC2?BC2?10 ⑵已知AB?17，AC?15，求BC的长 解：⑵BC?AB2?AC2?8

题型二：应用勾股定理建立方程

例２.⑴在?ABC中，?ACB?90?，AB?5cm，BC?3cm，CD?AB于D，CD＝ ⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为 ⑶已知直角三角形的周长为30cm，斜边长为13cm，则这个三角形的面积为 分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解 解：⑴AC?AB2?BC2?4，CD?AC?BC?2.4 AB 6

ADBC

⑵设两直角边的长分别为3k，4k?(3k)2?(4k)2?152，?k?3，S?54

1⑶设两直角边分别为a，b，则a?b?17，a2?b2?289，可得ab?60?S?ab?30cm2

2例３.如图?ABC中，?C?90?，?1??2，CD?1.5，BD?2.5，求AC的长

CD12EAB

分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来 解：作DE?AB于E， ??1??2，?C?90? ?DE?CD?1.5 在?BDE中

??BED?90?,BE?BD2?DE2?2

?Rt?ACD?Rt?AED ?AC?AE

在Rt?ABC中，?C?90?

?AB2?AC2?BC2，(AE?EB)2?AC2?42?AC?3

例4.如图Rt?ABC，?C?90?AC?3,BC?4,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积

CAB

答案：6

题型三：实际问题中应用勾股定理

例5.如图有两棵树，一棵高8cm，另一棵高2cm，两树相距8cm，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 m

7

AEBDC

分析：根据题意建立数学模型，如图AB?8m，CD?2m，BC?8m，过点D作DE?AB，垂足为E，则AE?6m，DE?8m

在Rt?ADE中，由勾股定理得AD?AE2?DE2?10

答案：10m

题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形 例6.已知三角形的三边长为a，b，c，判定?ABC是否为Rt? ①a?1.5，b?2，c?2.5 ②a?52，b?1，c? 43解：①?a2?b2?1.52?22?6.25，c2?2.52?6.25

??ABC是直角三角形且?C?90?

②?b2?c2?1325，a2?，b2?c2?a2??ABC不是直角三角形 916例7.三边长为a，b，c满足a?b?10，ab?18，c?8的三角形是什么形状？

解：此三角形是直角三角形

理由：?a2?b2?(a?b)2?2ab?64，且c2?64

?a2?b2?c2 所以此三角形是直角三角形

题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用

例8.已知?ABC中，AB?13cm，BC?10cm，BC边上的中线AD?12cm，求证：AB?AC

证明：

ABDC

?AD为中线，?BD?DC?5cm

在?ABD中，?AD2?BD2?169，AB2?169?AD2?BD2?AB2， ??ADB?90?，?AC2?AD2?DC2?169，AC?13cm，?AB?AC

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第四章 实数

正整数

整数 零

有理数 负整数 有限小数或无限循环小数

正分数

分数

负分数 小数

1.实数

正无理数

无理数 无限不循环小数

负无理数

实数与数轴上的点是一一对应的。

数轴上任一点对应的数总大于这个点左边的点对应的数。 ?a(a?0)绝对值 ?|a|??0(a?0)

??a(a?0) ?

无理数

有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示。反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。

1.无理数的概念:无限不循环小数叫做无理数(两个条件:①无限②不循环)。 练习：下列说法正确的是 （ ） （A）无限小数是无理数； （B）带根号的数是无理数； （C）无理数是开方开不尽的数； （D）无理数包括正无理数和负无理数 2.无理数: (1)特定意义的数，如∏；

(2)特定结构的数；如2.02002000200002?

(3)带有根号的数，但根号下的数字开不尽方，如

3.分类:正无理数和负无理数。

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?算术平方根定义如果一个非负数x的平方等于a，即x2?a??那么这个非负数x就叫做a的算术平方根，记为a，??算术平方根为非负数a?0??正数的平方根有2个，它们互为相反数????平方根?0的平方根是0?????负数没有平方根??2.无理数的表示?定义：如果一个数的平方等于a，即x2?a，那么这个数就?叫做a的平方根，记为?a???正数的立方根是正数???立方根??负数的立方根是负数?????0的立方根是0??定义：如果一个数x的立方等于a，即x3?a，那么这个数x??就叫做a的立方根，记为3a.?

?概念有理数和无理数统称实数??正数????有理数??分类或??0???无理数?????负数3.实数及其相关概念??绝对值、相反数、倒数的意义同有理数??实数与数轴上的点是一一对应?实数的运算法则、运算规律与有理数的运算法则???运算规律相同。

平方根

1.定义:如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x叫做a的平方根（也叫做二次

方根）。

2.表示方法: 正数a有两个平方根，一个是a的算术平方根

；另一个是－

，它们是

一对互为相反数，合起来是

3.开平方:求一个数a的平方根的运算，叫做开平方(其中,a叫被开方数,且a为非负数)。开平方与乘方是互为逆运算。

判断：（1） 2是4的平方根 （ ）

（2） -2是4的平方根（ ） （3）4的平方根是2 （ ） （4）4的算术平方根是-2 （ ）

（5）17的平方根是

（ ）

（6）-16的平方根是-4 （ ）

小结: 一个正数有两个平方根,它们互为相反数；

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