关于无穷级数求和问题的探讨毕业论文(2)

?xln?1?x???tdt 01?t?xln?1?x??x?ln?1?x? ?x?1?上式左边正是原级数。

x所以级数和S?xln?1?x??x?ln?1?x? x?1

???例 7 设In??40sinxcosxdx,n?0,1,2...，求?In.

n?n?0?1?2?21n?1分析：首先我们将积分算出来，然后又注意到是中的x?Sx?x???????2n?1?2?n?0n?1?1n?1值，由S?x???x我们想到先求导后积分及可以求出S?x?。

n?0n?1n?1?解：积分：In????40sinnxd?sinx??n?11n?1?sinx?n?1?1?2?4????n?1?2??0n?1.

1?2?因此?In??????n?12n?0n?0??设 S?x??求导后再求和，得 S'?x??积分，得

S?x??令x??.

1n?1x,x???1,1?. ?n?0n?1?xn?n?0x?1. 1?x1?01?tdt??ln1?x

2???1,1?，则 2n?1?2??1?2? S???2?????2??1?nn?0????????ln1?2. 2 故

n4I?sinxcosxdx?ln2?2 ?n??n?0n?00???4 转化数列极限的计算问题求和法

数列{Sn}的敛散性可由其子列来研究,并且有一个重要的结论：

引理?8? 1:数列{Sn}收敛的充分必要条件是{Sn}的任一子列都收敛,且有相同的极限。

特别地,由引理1,可得

引理2?8?:数列{Sn}收敛于S的充分必要条件是{Sn}{的两个子列{S2n}和{S2n?1}都收敛于同一极限，此时， 称两个子列{S2n}和{S2n?1}为互补子序列。 可将引理2推广到一般情形

6

定理1?8?: 数列{Sn}收敛于S的充分必要条件是{Sn}的p(p是某个正整数)个子列

{Spn},{Spn?1}，?{Spn?(p?1)}都收敛于同一极限S.

证明:当p?1,p?2时,结论显然成立;下面证明当p = 3 时结论成立,其他情形类似可证由引理

1可知必要性显然,只要证明“充分性”由条件,

由{S3n}收敛于S，则对???0，?N1，当n?N1时，有S?S3n?? 由{S3n?1}收敛于S，则对上述的??0，?N2，当n?N2时，有S?S3n?1?? 由{S3n?2}收敛于S，则对上述的??0，?N3，当n?N3时，有S?S3n?2??

取N?max?N1,N2,N3?，则n?N时，有S?S3n??且S?S3n?1??且S?S3n?2?? 当k?N时，K?3n?2或K?3n?1或K?3n 所以S?SK??故证数列{Sn}收敛于S。 定理2?8?：若级数

???an?1n的通项an?0（当n?0时），则

?an?1?n?1n收敛于S的充分必要条件是部

分和数列{Sn}的子数列{S2n}(n?1,2,...)收敛于S。此时证明：必要性：由引理1可知。

?an?S?limS2n?S。

n?? 充分性：因为{S2n}收敛于S，由收敛的“??N” 定义可得： 对???0，?N1，当2n?N1时，有S?S2n??2，

又因为an?0，由收敛的“??N” 定义可得： 则对上述的??0，?N2，当n?N2时，有an?当2n?1?max?N1,N2?，考察

?2，则a2n?1??2

S?S2n?1?S??S2n?a2n?1??S?S2n?a2n?1?S?S2n?a2n?1??2??2??

因此，由收敛的“??N”的定义得：?S2n?1?收敛于S，再根据引理2，可知定理3?8?：若级数

?an?1?n收敛于S。

?an?1?n的通项an?0（当n?0时），则

?an?1?n收敛于S的充分必要条件是部

分和数列{Sn}的的一个子列{Spn}（p是某个正整数，n?1,2,...)收敛于S。

证明：当p?1,p?2时结论成立，下面证明p?3时结论成立，其他的情形类似可证。

必要性：由引理1可知。

充分性：{S3n}收敛于S，由收敛的“??N” 定义可得：则对???0，?N1，当3n?N1时，有S?S3n??2，又因为an?0，由收敛的“??N” 定义可得：则对上述的??0，?N2，

当n?N2时，有an?考察S?S3n?1?222?S??S3n?a3n?1??S?S3n?a3n?1??

，则a3n?1??，a3n?2??

7

S?S3n?2?S??S3n?a3n?1?a3n?2??S?S3n?a3n?1?a3n?2?S?S3n?a3n?1?a3n?2?

?2??2??2?3?2因此，由收敛的“??N” 定义可得{S3n?1}，{S3n?2}收敛于S，再根据定理1可得于S。

??an?1?n收敛

n?11(?1)的和. ?nn?1?11111n?11?1??????...观察后，我们可先考虑{S2n}的极限，分析：通过写出?(?1)n23456n?1例 8 求交错级数

然后化简就可以利用定理3知其和。

11111?????...，观察后，考察部分和数列的子列{S2n}的极限。首先23456111111给出一个重要的公式：?1??????...??C?lnn??n (1)

23456n其中C?0.577216...成为Euler常数，且??0(当n?0时)。对于原级数，并由(1)式

n解：原级数?1?可知S

111111 ?1???...??2(??...?)232n242n111111?1???...??(??...?)232n12n?ln2??2n??n?ln2(当n??时)S2n?ln2，又因为liman?lim??1?n1?0 即limx??x??x??n所以，有定理3知，原级数收敛，其和为S?ln2.

12112112例 9 计算级数1?????????...的和。

234567892n

分析：我们发现原级数每三项就会出项一个负的项，我们这样就可以考虑级数的前3n项的和，从而得出结果。

解：级数的前3n项的和为

3n12112112112S3n?1?????????...?????un

234567893n?23n?13n1

1?1?11?11?11?11??1????1????????...??????

2?3?45?62?3n?23n?1?3nn?111?111??1???...???1???...??

233n?23n? 8

?C?ln3n??3n??C?lnn??n? ?ln3??3n??n ?n???

un?0，因此根据定理2可得原级数收敛，其和为ln3。 所以S3n收敛于ln3，又因为limx??

5 利用解微分方程求和法

即研究它的导数或其与它本身有何特点及相关联系，看其是否满足某微分方程及定解条件 找出欲求和级数所满足的微分方程及定解条件，再解该方程?9?。

xn例 10 求无穷级数?的和.

n?0n!?分析：我们发现此级数它的本身其实和它的导数的和相等，这样我们就可列出微分方程，求其解，也就是无穷级数的和。

解：易知该幂级数的收敛R???，故在???,???内级数处处收敛，且可逐项求导，令

xn?S?x? ???,??? ?n?0n!?xn?1'?S?x? 又S?x???n?0(n?1)!S'?x??S?x?当x?0时，S?x??1，解一阶微分方程{

S?0??1?xnx得S?x??e，即?=e ???,???.

n!n?0?2n?12nx的和. 例 11 求无穷级数?n!n?0x?分析：先对原级数求导，而后就会注意到S'?x??2xS?x??4xe，解这个一阶线性微分方程就得出其和。

解：该级数收敛域为???,???，设其和为S?x?.

x22?2n?1?2n?1x 则S'?x???n?1!??n?1?2?n?1??1??22?n?1??1???x ?2? n?1!??n?1? ?2x2n?12n x?4x??n!n!n?0n?0x2x2???x2?n ?2xS?x??4xe

即S'?x??2xS?x??4xe这是一阶线性微分方程，由通解公式：

x2 S?x??e?2x?C?

2由S?0??1，得C?1

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?S?x??ex?2x?1?， x????,???.

2

6 利用傅里叶级数求和法

在将某些函数展开成傅里叶级数?10?时，往往得到一些比较规范的三角级数展开式。

?1设在区间???,??上连续的函数f?x?的傅里叶级数a0???akcoskx?bksinkx?，其中

2k?1?1?1?a0??f?x?dx，ak??f?x?coskxdx，bk??f?x?sinkxdx?k?1,2,...?，它在

?????????f?x?,???x??? ???,??上收敛，它的和函数S?x???1????f???f?,x??????????2?111例 12 求1?2?2?2?...的和.

357分析：注意到该级数的和函数x在???,??展开的傅里叶级数的关系。

解：先求f?x??x的傅里叶级数a0?xdx?? ????1?ak?????1?xcoskxdx???x?coskxdx????xcoskxdx，a2k?1???2x?1???????101?42，

a2k?0，bk?1????xsinkxdx?0?k?1,2,...?

??所以将函数x在???,??上展成傅里叶级数得：

4?cos3xcos5x?cosx???...??,x????,??； 222??35?2111?令x??，则1?2?2?2?...?

3578 x?

例 13 求无穷级数

??k?1???1?k22k?1的和。

分析：通过先求f?x??x的傅里叶级数，然后再转向原级数求和。 解：先求f?x??x的傅里叶级数 a0?2ak?21?????x2coskxdx?1?2sinkx?x???k??222xdx??， ????3?1?sinkx??2xdx

?????k?k1

????????1?x2?coskx??2?coskxdcoskx?x?dx?42?2k2??k2?k???????k?k?1,2,...?

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