a?0?x??2?a?0?y? ?2??a?2?x?y?a?
如图阴影部分所示，故所求概率为p?
1. 438. 某人有n把钥匙，其中只有一把能开他的门.他逐个将它们去试开（抽样是无放回的）.
证明试开k次（k=1,2,?,n）才能把门打开的概率与k无关.
k【证】 （考虑次序）基本事件总数为An ， “试开k次（k=1,2,?,n）才把门打开”，意k?1味着“第k次打开门之前，在不能打开门的n?1把钥匙中选则了k?1次”， 共有An?1种选
择方法，因此
k?1An11 p?? ,?,k?1,2?,nkAnn 由计算结果可以看出“概率与k无关”。
39.把一个表面涂有颜色的立方体等分为一千个小立方体，在这些小立方体中，随机地取出
一个，试求它有i面涂有颜色的概率P（Ai）（i=0,1,2,3）.? 【解】 设Ai={小立方体有i面涂有颜色}，i=0,1,2,3.
在1千个小立方体中，只有位于原立方体的角上的小立方体是三面有色的，这样的
小立方体共有8个.只有位于原立方体的棱上（除去八个角外）的小立方体是两面涂色的，这样的小立方体共有12×8=96个.同理，原立方体的六个面上（除去棱）的小立方体是一面涂色的，共有8×8×6=384个.其余1000?（8+96+384）=512个内部的小立方体是无色的，故所求概率为
512384?0.512,P(A1)??0.384, 10001000968P(A2)??0.096,P(A4)??0.008.
10001000P(A0)?40.对任意的随机事件A，B，C，试证?
P（AB）+P（AC）?P（BC）≤P(A).? 【证】 P(A)?P[A(B?C)]?P(AB?AC) ?P(AB)?P(AC)?P(ABC) ?P(AB)?P(AC)?P(BC)
41.?将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯中球的最大个数分别为1，2，3的概率. 【解】 设Ai={杯中球的最大个数为i},i=1,2,3.
将3个球随机放入4个杯子中，全部可能放法有43种，杯中球的最大个数为1时，每个杯中最多放一球，故
C33!3P(A1)?43?
48而杯中球的最大个数为3，即三个球全放入一个杯中，故
C114P(A3)?3?
416因此 P(A2)?1?P(A1)?P(A3)?1?319?? 8161621C1C93C3? 或 P(A2)?43416 42.?将一枚均匀硬币掷2n次，求出现正面次数多于反面次数的概率.
【解】掷2n次硬币，可能结果：A={正面次数多于反面次数}，B={正面次数少于反面次数}，
C={正面次数等于反面次数}，易知A，B，C是样本空间的一个划分，故
P(A)?P(B)?P(C)?1
由于硬币是均匀的,考虑到对称性，故P（A）=P（B）.所以
P(A)?1?P(C) 2在2n重贝努里试验中正面出现n次的概率为
n1n1nP(C)?C2n()()
2211n 故 P(A)?[1?C2n2n]
22
43.?证明“确定的原则”（Sure?thing）：若P（A|C）≥P(B|C),P(A|C)≥P(B|C)，则P（A）≥P(B).
【证】由P（A|C）≥P(B|C),得
P(AC)P(BC)?,
P(C)P(C)即有 P(AC)?P(BC) 同理由 P(A|C)?P(B|C), 得 P(AC)?P(BC),
故 P(A)?P(AC)?P(AC)?P(BC)?P(BC)?P(B) 44.一列火车共有n节车厢，有k(k≥n)个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢内至少
有一个旅客的概率.?
【解】 设Ai={第i节车厢是空的}，（i=1,?,n）,则
(n?1)k1kP(Ai)??(1?)nkn2P(AiAj)?(1?)k n?n?1kP(Ai1Ai2?Ain?1)?(1?)n其中i1,i2,?,in?1是1，2，?，n中的任n?1个. 显然n节车厢全空的概率是零，于是
11kS1??P(Ai)?n(1?)k?C1(1?)nnni?122S2??P(AiAj)?Cn(1?)kn1?i?j?n?Sn?1?Sn?0P(?Ai)?S1?S2?S3???(?1)n?1Sni?11k2knn?1 ?Cn(1?)?Cn(1?)???(?1)Cn(1?n1?i1?i2??in?1?n?n?1P(Ai1Ai2?Ain?1)?Cn(1?n?1k)n
n1n2nn?1k) n故所求概率为
1k2in?1k2n?1n?11?P(?Ai)?1?C1(1?)?C(1?)???(?1)C(1?) nnni?1nnnn45.设随机试验中，某一事件A出现的概率为ε>0.试证明：不论ε>0如何小，只要不断地独
立地重复做此试验，则A迟早会出现的概率为1.? 【证】在n重独立试验中,事件A都不发生概率为： p(?)?(1??)
n由于?为随机事件A发生的概率,而题目给定?>0,因此其定义域为
D?????(0,1]?
假设n足够大,即n??，在??(0,1] 上,由极限定义可得
limp(?)?lim(1??)n?0
n??n??即假设n足够大,n次独立试验中A都不发生的概率为n??时, p(?)?0
1p?(?))。 证毕。 因而在n足够大时, A至少发生一次的概率为 lim(?n??46.袋中装有m只正品硬币，n只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）.在袋中任取一只，
将它投掷r次，已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少？ 【解】设A={投掷硬币r次都得到国徽}
B={这只硬币为正品} 由题知 P(B)?mn,P(B)? m?nm?n1P(A|B)?r,P(A|B)?1
2则由贝叶斯公式知
P(B|A)?P(AB)P(B)P(A|B) ?P(A)P(B)P(A|B)?P(B)P(A|B)m1?rmm?n2 ? ?rm1nm?2n?r??1m?n2m?n47.?求n重贝努里试验中A出现奇数次的概率. 【解】 设在一次试验中A出现的概率为p.则由
0n1n?12n?2n0(q?p)n?C0?C2???Cnnpq?Cnpqnpqnpq?1.................① 0n1n?12n?2n0(q?p)n?C0?C2???(?1)nCnnpq-Cnpqnpqnpq.....................②
①—②，得所求概率为
n?13n?3p1?C1?C3?? npqnpq1?[1?(q?p)n] 21?[1?(1?2p)n] 2若要计算在n重贝努里试验中A出现偶数次的概率，则只要将两式相加，即得
1p2?[1?(1?2p)n].
248.某人向同一目标独立重复射击每次射击命中目标的概率为p(0?p?1)，求此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率。
1【解】 根据独立重复的伯努利试验，前3次射击中1次成功2次失败其概率为C3p(1?p)2，
再加上第4次射击命中目标，其概率为p，根据独立性，所求概率为
3p2(1?p2).
49. 设A,B,C是随机事件, A与C互不相容，P(AB)?11,P(C)?，求P(ABC). 23【解】因为A与C互不相容，所以C?A,当然C?AB,于是
P(ABC)?P(ABC)P(AB)3??. 1?P(C)4P(C)50.设A，B是任意两个随机事件，求P{（A+B）（A+B）（A+B）（A+B）}的值. 【解】因为（A∪B）∩（A∪B）=AB∪AB
（A∪B）∩（A∪B）=AB∪AB
所求 (A?B)(A?B)(A?B)(A?B) ? ?[(AB?AB)?(AB?AB)] ??
故所求值为0.
51.设两两相互独立的三事件，A，B和C满足条件：?
ABC=?，P(A)=P(B)=P(C)< 1/2，且P（A∪B∪C）=9/16，求P（A）.
【解】由P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(ABC)
2 ?3P(A)?3[P(A)]?9 16故P(A)?1113或,按题设P（A）<,故P（A）=.
244452.设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为1/9，A发生B不发生的概率与B发生A
不发生的概率相等，求P（A）.
)?【解】 P(ABP(?AB)?1?P(?A1B?) ① 9P(AB)?P(AB) ②
故 P(A)?P(AB)?P(B)?P(AB)
故 P(A)?P(B) ③ 由A,B的独立性，及①、③式有
1?1?P(A)?P(B)?P(A)P(B) 9 ?1?2P(A)?[P(A)] ?[1?P(A)]
故 1?P(A)??故 P(A)?221 324或P(A)?（舍去） 33
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