第六章 概率与概率分布(2)

（2）用文字表达ABC；【抽到是受过高等教育的未婚妇女】 （3）什么条件下ABC＝A。【总体中的妇女都是受过高等教育和未婚的】

12．已知随机变量x的概率分布如下： X 0 0.1 1 0.2 22 0.4 3 0.2 24 0.1 2P(x) 试求：1）E(X)；2）E(X)；3）令Y＝(X?1)，求E(Y)；4）D(X)；5）D(X)。

【2】【5.2】【2.2】【1.10】【4.62】

13．A、B、C为三事件，指出以下事件哪些是对立事件：

1）A、B、C都发生； 2）A、B、C都不发生；

3）A、B、C至少有一个发生； 4）A、B、C最多有一个发生； 5）A、B、C至少有两个发生； 6）A、B、C最多有两个发生

【2和3是对立事件】【4和5是对立事件】【1和6是对立事件】

14．从户籍卡中任抽1名，设：

A＝“抽到的是妇女”

B＝“抽到的受过高等教育” C＝“未婚” （1）用符号表达“抽到的是受过高等教育的已婚男子”； 【ABC】 （2）用文字表达ABC； 【抽到是受过高等教育的未婚女子】 （3）什么条件下ABC＝A。 【总体中妇女都是受过高等教育的未婚女子】

15．1－1000号国库券已到期，须抽签还本付息，求以下事件的概率：

（1）抽中701号； 【0.001】 （2）抽中532号； 【0.001】 （3）抽中小于225号； 【0.224】 （4）抽中大于600号； 【0.4】 （5）抽中1020号； 【0】 （6）抽中大于或者等于700号； 【0.301】 （7）抽中小于125号或者大于725号； 【0.399】 （8）抽中小于50号或者大于700号。 【0.349】 16．一个口袋中装有10只球，分别编上号码1，??10，随机地从这个口袋去3只球，试求：（1）最小号码是5的概率；（2）最大号码是5的概率。 【0.083，0.05】

17．共有5000个同龄人参加人寿保险，设死亡率为0.1％。参加保险的人在年初应交纳保险费10元，死亡时家属可领2000元。求保险公司一年内从这些保险的人中，获利不少于30000元的概率。 【98.75%】

18、在一批10个产品中有4个次品。如果一个接一个地随机抽取两个，下面的每个随机事件的概率是多少？

（1）抽中一个是次品，一个是合格品； 【0.53】

6

（2）抽取的两个都是次品； 【0.13】 （3）至少有一个次品被选取； 【0.67】 （4）抽取两个合格品。 【0.33】

七、问答题

1．什么是概率？

2．何谓先验概率和经验概率，举例说明。

3．事件互不相容与相互独立这两个概念有何不同？ 4．频率分布和概率分布有何区别和联系？

八、计算举例

[例] 从一副洗得很好的扑克牌中做了3次抽取，假定使用回置法，求至少得到1张A和1张K的概率是多少?

[解] 按照题意，要在不同样本空间中考虑三种复合事件：抽到1张A和1张K，另l张非A非K，用符号(AKO)表示(其中“O”表示其他)；抽到1张A和2张K，用符号(AKK)表示；抽到2张A和1张K，用符号（AAK)表示。因为在不同样本空间中基本事件实现的概率不同，必须对它们加以区别。

次序为AKO的样本点实现的概率是

1111·· 13131321?1?次序为AKK的样本点实现的概率是·??

13?13??1?1次序为AAK的样本点实现的概率是??·

?13?13再考虑每个复合事件各含有多少种可能的排列方式 (AKK)含有3!／2!＝3种排列方式 (AAK)含有3!／2!＝3种排列方式 （AKO)含有3!＝6种排列方式

所以，在一副扑克的三次抽取中，至少得到1张A和1张K的概率是

2 7

?1?11?1??1?6·??· + 3·?? + 3·??＝0.033 ?13?13?13??13? [例] 假如对1000个大学生进行歌曲欣赏调查，发现其中有500个学生喜欢民族歌曲，400个学生喜欢流行歌曲，而这些学生中有100人属于既喜欢民族歌曲又喜欢流行歌曲的，剩下来的学生两歌曲都不喜欢。如果我们随机地从该总体中抽取一个学生，并设事件A为该学生喜欢民族歌曲，事件B为该学生喜欢流行歌曲，试解决下列问题：6 ①用数字证明P(A且B)＝P(A)P(B／A)＝P(B)P(A／B)。 ②得到一个喜欢两种风格歌曲之一的学生的概率是多少?

③随机地选取一个由3个学生组成的样本，要求这三个学生全都有相同的欣赏方式，得到这种样本的概率是多少? ④做一个一枚硬币独立

[解] 因为1000名大学生中有500名喜欢民族歌曲，有400名喜欢流行歌曲，所以P(A)＝

23350014002＝，P(B)＝＝；因为500名喜欢民族歌曲的学生之中，有100名还同时1000210005喜欢流行歌曲。所以，

10011001＝，同理，P(A／B)＝＝。 50054004111 ① P(A) P(B／A) ＝·＝

2510211 P(B) P(A／B)＝·＝

5410P(B／A)＝

又因为在1000名学生中只有100名学生两种风格的音乐都喜欢

P(A且B)＝

1001＝ 100010 所以 P (A且B)＝P(A) P(B／A) ＝ P(B) P(A／B)

②又设事件A表示该学生不喜欢民族歌曲，事件B表示该学生不喜欢流行歌曲，按题意，一个学生可能有4种欣赏方式：

仅喜欢民族歌曲，即AB，共400名，P(AB))＝

4004＝； 100010 8

3003＝； 1000101001两种歌曲都喜欢，即AB，共100名，P(AB)＝＝；

1000102002两种歌曲都不喜欢，即AB，，共200名，P(AB)＝＝。

100010仅喜欢流行歌曲，即AB，共300名，P(AB)＝下表列出抽到3名学生都有相同欣赏方式的4种可能性

可能方式 概率 3人都仅喜欢民族歌曲 AB AB AB 64?4? ??＝101000??27?3? ??＝1000?10?1?1? ??＝101000??8?2? ??＝1000?10?33333人都仅喜欢流行歌曲 AB AB AB 3人两种歌曲都喜欢 3人两种歌曲都不喜欢

AB AB AB AB AB AB 把上面这些互斥事件的概率加起来，我们便得到抽到3人都有相同欣赏方式的概率

1100 (64+27+1+8)＝＝0．1 10001000 9

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