第六章 概率与概率分布

第六章 概率与概率分布

第一节 概率论

随机现象与随机事件·事件之间的关系（事件和、事件积、事件的包含与相等、互斥事件、对立事件、互相独立事件）·先验概率与古典法·经验概率与频率法

第二节 概率的数学性质

概率的数学性质（非负性、加法规则、乘法规则）·排列与样本点的计数·运用概率方法进行统计推断的前提

第三节 概率分布、期望值与变异数

概率分布的定义·离散型随机变量及其概率分布·连续型随机变量及其概率分布·分布函数·数学期望与变异数

一、填空

1．用古典法求算概率．在应用上有两个缺点：①它只适用于有限样本点的情况；②它假设（ 机会均等 ）。

2．分布函数F(x)和P(x)或?(x)的关系，就像向上累计频数和频率的关系一样。所不同的是，F(x)累计的是（ 概率 ）。

3．如果A和B（ 互斥 ），总合有P(A/B)＝P〔B/A〕＝0。

4．（ 大数定律 ）和（ 中心极限定理 ）为抽样推断提供了主要理论依据。 5．抽样推断中，判断一个样本估计量是否优良的标准是（ 无偏性 ）、（ 一致性 ）、（ 有效性 ）。

6．抽样设计的主要标准有（ 最小抽样误差原则 ）和（ 最少经济费用原则 ）。 7．在抽样中，遵守（ 随机原则 ）是计算抽样误差的先决条件。 8．抽样平均误差和总体标志变动的大小成（ 正比 ），与样本容量的平方根成（ 反比 ）。如果其他条件不变，抽样平均误差要减小到原来的1/4，则样本容量应（ 增大到16倍 ）。

9．若事件A和事件B不能同时发生，则称A和B是（ 互斥 ）事件。

10．在一副扑克牌中单独抽取一次，抽到一张红桃或爱司的概率是（ 1/4 ）；在一副扑克牌中单独抽取一次，抽到一张红桃且爱司的概率是（ 1/52 ）。

二、单项选择

1．古典概率的特点应为（A）

A、基本事件是有限个，并且是等可能的； B、基本事件是无限个，并且是等可能的；

C、基本事件是有限个，但可以是具有不同的可能性；

1

D、基本事件是无限的，但可以是具有不同的可能性。 2．随机试验所有可能出现的结果，称为（D） A、基本事件； B、样本； C、全部事件； D、样本空间。

3、以等可能性为基础的概率是（A） A、古典概率； B、经验概率； C、试验概率； D、主观概率。

4、任一随机事件出现的概率为（D） A、在–1与1之间； B、小于0； C、不小于1；

D、在0与1之间。

5、若P（A）＝0.2，Ｐ（B）＝0.6，P（A/B）＝0.4，则P(A?B)＝（D）

A、0.8 B、0.08 C、0.12 D、0.24。

6、若A与B是任意的两个事件，且P（AB）＝P（A）·P（B），则可称事件A与B（C） A、等价 B、互不相容 C、相互独立 D、相互对立。

7、若两个相互独立的随机变量X和Y的标准差分别为6与8，则（X＋Y）的标准差为（B）

A、7 B、10 C、14 D、无法计算。 8、抽样调查中，无法消除的误差是（C）

A 登记性误差 B 系统性误差 C 随机误差 D 责任心误差 9． 对于变异数D(X)，下面数学表达错误的是（ ）。

2

A．D(X)＝E(X2)―μ B．D(X)＝E[(X―μ)2] C．D(X)＝E(X2)―[E (X) ] 2 D．D(X)＝σ 10．如果在事件A和事件B存在包含关系A?B的同时，又存在两事件的反向包含关系A?B，则称事件A与事件B（ ）

A．相等 B．互斥 C．对立 D．互相独立

三、多项选择

1．数学期望的基本性质有( ACD )

A．E(c)＝c B．E(cX)＝c2E(X)

C．E (X?Y)＝E(X)?E(Y) D．E(XY)＝E(X)·E(Y) 2、概率密度曲线（AD）

A、位于X轴的上方 B、位于X轴的下方

C、与X轴之间的面积为0 D、与X轴之间的面积为1 E、与X轴之间的面积不定。 3、重复抽样的特点是（ACE）

A 每次抽选时，总体单位数始终不变；

2

B 每次抽选时，总体单位数逐渐减少； C 各单位被抽中的机会在每次抽选中相等； D 各单位被抽中的机会在每次抽选中不等； E 各次抽选相互独立。

4、对于抽样误差，下面正确的说法是（ABE）

A抽样误差是随机变量；

B 抽样平均误差是一系列抽样指标的标准差；

C 抽样误差是估计值与总体参数之间的最大绝对误差； D 抽样误差是违反随机原则而产生的偏差；

E 抽样平均误差其值越小，表明估计的精度越高。 5．关于频率和概率，下面正确的说法是（ ）。

A．频率的大小在0与1之间； B．概率的大小在0与1之间；

C．就某一随机事件来讲，其发生的频率是唯一的；

D．就某一随机事件来讲，其发生的概率是唯一的； E．频率分布有对应的频数分布，概率分布则没有。 6．随机试验必须符合以下几个条件（ ）。

A．它可以在相同条件下重复进行；

B．每次试验只出现这些可能结果中的一个； C．预先要能断定出现哪个结果； D．试验的所有结果事先已知；

E．预先要能知道哪个结果出现的概率。

四、名词解释

1、 数学期望：

是反映随机变量X取值的集中趋势的理论均值（算术平均）。

2、 对立事件：

若事件A和事件B是互斥事件，且在一次试验（或观察中）必有其一发生，则称A和B是对立事件，或称逆事件。。 3、 随机事件：

人们把随机现象的结果以及这些结果的集合体称作随机事件，也称事件。 4、 事件和：

事件A和事件B至少有一个发生所构成的事件C，称为A和B的事件和。 5、 事件积：

事件A和事件B同时发生所构成的事件C，称为A和B的事件积。

6、 互斥事件：

若事件A和事件B不能同时发生，则称A和B是互斥事件，或称互不相容事件。 7、 互相独立事件：

若A事件发生的概率等于在B事件发生后A事件发生的概率，或者B事件发生的概率等于在A事件发生后B事件发生的概率，则称A和B是互

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相独立事件。 8、 先验概率：

古典法以想象总体为对象，利用模型本身所具有的对称性，来事先求得概率，古典法求出的概率被称为先验概率。 9、 经验概率：

将试验次数n充分大时的频率作为概率的近似值，这就是所谓的经验概率。

五、判断题

1．对于连续型随机变量，讨论某一点取值的概率是没有意义的。 （ √ ） 2．把随机现象的全部结果及其概率，或者把随机现象的或几个结果及其概率列举出来，就可以称作概率分布。 （ × ）

3．社会现象是人类有意识参与的后果，这一点只是改变概率的应用条件，并不改变社会现象的随机性质。 （ √ ）

4．在社会现象中，即使相同的意识作用也完全可能有不确定的结果，这就提供了概率论应用的可能性。 （ √ ）

5．抽样的随机原则就是指客观现象的随机性。 （ × ） 6．样本均值是总体均值的一个无偏估计量。 （ √ ） 7．样本方差是总体方差的一个无偏估计量。 （ × ） 8．样本容量的大小与抽样推断的可信程度成正比。 （ √ ） 9．重复抽样的误差一定大于不重复抽样的抽样误差。 （ √ ） 10．抽样误差的产生是由于破坏了抽样的随机原则而造成的。 （ × ） 11．当样本容量n无限增大时，样本均值与总体均值的绝对离差小于任意正数的概率趋于零。 （ × ）

12．所谓抽样分布，就是把具体概率数值赋予样本每个或每组结果的概率分布。

（ √ ）

六、计算题

1．某系共有学生100名，其中来自广东省的有25名；来自广西省的有10名。问任意抽取一名学生，来自两广的概率是多少？ 【0.35】

2．为了研究父代文化程度对子代文化程度的影响，某大学统计出学生中，父亲具有大学文化程度的占30％，母亲具有大学文化程度的占20％，而父母双方都具有大学文化程度的占10％。问学生中任抽一名，其父母有一人具有大学文化程度的概率是多少？ 【0.40】

3．根据统计结果，男婴出生的概率为

2221；女婴出生的概率为。某单位有两名孕妇，4343问两名孕妇都生男婴的概率是多少？ 【0.2601】

4． 根据统计，由出生活到60岁的概率为0.8，活到70岁的概率为0.4。问现年60岁 的人活到70岁的概率是多少？ 【0.5】

5．根据统计结果，男婴出生的概率为

2221；女婴出生的概率为。某单位有两名孕妇，4343求这两名孕妇生女婴数的概率分布。 【0.2601，0.4998，0.2401】

6． 一家人寿保险公司在投保50万元的保单中，每千名每年由15个理赔，若每一保单 每年的运营成本与利润的期望值为200年，试求每一保单的保费。 【7700元】

4

7． 某单位对全单位订报纸情况进行了统计，其中订《人民日报》的有45％，订《扬子

晚报》的有60％，两种报纸都订的有30％。试求以下概率：

1）只订《人民日报》的； 2）至少订以上一种报纸的； 3）只订以上一种报纸的；

4）以上两种报纸都不订的。 【0.15，0.95，0.65，0.05】

8．根据某市职业代际流动的统计，服务性行业的工人代际向下流动的概率为0.07，静止不流动的概率为0.85，求服务性行业的代际向上流动的概率是多少？ 【0.08】

9． 消费者协会在某地对国外旅游动机进行了调查，发现旅游者出于游览名胜的概率为 0.219；出于异族文化的吸引占0.509；而两种动机兼而有之的占0.102。问旅游动机为游览名胜或为异族文化吸引的概率是多少？ 【0.626】

10．根据生命表，年龄为60岁的人，可望活到下年的概率为P＝0.95；设某单位年龄为60岁的人共有10人，问：（1）其中有9人活到下年的概率为多少？（2）至少有9人活到下年的概率是多少？ 【0.315】【0.914】

11．假定从50个社区的总体中随机抽取一些社区（这些社区的规模和犯罪率之间关系的数据如下表），（1）用不回置抽样得到了一个4个社区的样本，试问其中恰好有一个大社区，一个中社区以及两个小社区的概率是多少？（2）在一个用回置法得到的3个社区的样本中，得到至少一个高犯罪率社区和两个小社区的概率是多少？ 【0.178】【0.046】

属性 高犯罪率 低犯罪率 大 2 16 中 8 4 小 5 15 12、已知随机变量x的概率分布如下： X 0 0.1 1 0.2 22 0.4 3 0.2 4 0.1 2P(x) 试求：1）E(X)【2】；2）E(X)【5.2】；3）令Y＝(X?1)，求E(Y)【2.2】；4）D(X)【1.10】；5）D(X)【4.62】。

13、A、B、C为三事件，指出以下事件哪些是对立事件： 1）A、B、C都发生； 2）A、B、C都不发生；

3）A、B、C至少有一个发生； 4）A、B、C最多有一个发生； 5）A、B、C至少有两个发生； 6）A、B、C最多有两个发生

【2、3为对立事件 4、5为对立事件 1、6为对立事件】

14、从户籍卡中任抽1名，设：

A＝“抽到的是妇女”

B＝“抽到的受过高等教育” C＝“未婚” 求：（1）用符号表达“抽到的是受过高等教育的已婚男子”；【ABC】

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