安徽省安庆市2013届高三第三次模拟考试数学理试题(2)

10．解析：∵ f(x)?lg(ax2?2bx?a)的值域为R，

∴??a?0?a?0?a?0?a?0或?或? ??22?b?0???4b?4a?0?b?0?(b?a)(b?a)?0画出可行域如右图所示，由(a?2)2?(b?1)2的几何意义知：

(a?2)2?(b?1)2?4，故选C。

二、填空题：（本题共5小题， 每小题5分，共25分。） 11. (0,)； 12.0.050；13.

2218?T?是公比为

nnq的等比数列；14.

8；15. ①③④ 2511y，∴焦点坐标为(0,) 2830(12?8?2?8)2302??4.2857?3.841，12．解析： K?

14?16?20?10711．解析：y?2x?x?∴错误的概率不超过.0.050。

13．解析：∵nTn?(b1b2???bn)?(bq1nn111?2???n?1n)

?(bqn1n(n?1)2)?b1q1n??n?1，∴nTn是公比为q的等比数列。

??14．解析：从0，1，2，3，4，5这6个数字中任意取4个数字组成没有重复数字的四位数，共有

3134C5?C3A3?A5?300（个），∵0+1+2+3+4+5=15，∴这个四位数能被3整除只能由数字： 4131，2，4，5； 0，3，4，5；0，2，3，4；0，1，3，5；0,1,2,3组成，所以能被3整除的有：A4?4?C3A3?96

∴这个数能被3整除的概率为P?968?. 30025215．解析：由a、b、c成等差数列，则2b?a?c?2b?2ac?b?ac，故①正确；

∴?21a1a?c2b2b2????，∴②不正确； cacacb2ba2?c2(a?c)2a2?c2(a?c)2?????0，∴∴b?③正确； 2424由正弦定理得：2b?a?c?2sinB?sinA?sinC

BBA?CA?Ccos?sincos 2222A?CBBA?C?2coscos?coscos

2222A?CA?C?2cos?cos

22ACACACAC?2coscos?2sinsin?coscos?sinsin

22222222ACAC?coscos?3sinsin

2222?2sin?tanAC1tan? 223a2?c2?b24a2?4c2?(a?c)2?又由余弦定理得：cosB?

2ac8ac?B13(a2?c2)?2ac4ac1???，∴0?B?，∴tan2?，

3238ac8ac2∴tan2BAC?tantan成立，故①③④正确。 222三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 16．解析：（1）设P(cos?,sin?)，N(0,t),P、N、A共线，设AN??AP,??R …① 又A(?1,0)，所以AN?(1,t)，AP?(cos??1,sin?)，代入①，解得t?∴N(0,sin?，

1?cos?sin?cos?),同理M(,0). …………（4分）

1?cos?1?sin?（2）由（1）知PO?(?cos?,?sin?)，

cos??sin?cos?PM?(?cos?,?sin?)?(,?sin?)，

1?sin?1?sin?sin??sin?cos?PN?(?cos?,?sin?)?(?cos?,)， …………（6分）

1?cos?1?cos?代入PO?xPM?yPN，得：

sin?cos?x?(?cos?)y，

1?sin?sin?cos??sin???sin??x?y

1?cos??cos???整理得：sin??x?(1?sin?)y?1?sin?…②，

(1?cos?)x?cos??y?1?cos?…③。

②+③，解得：x?y?2?sin??cos?1?1??1?1?sin??cos?1?sin??cos?11?2sin(??)4?，

…………（10分）

由点P在第一象限得0????2，所以x?y的最小值为2． …………（12分）

17．解（Ⅰ）：?的所有可能取值为0，1，2．……（1分）

1C3C21344C2依题意得：P(??0)?3?，P(??1)?， ?C65C3562C114C2 P(??2)?． ……（4分） ?3C65∴?的分布列为

? P ∴ E??0?0 1 2 131?1??2??1． ……（6分） 555（Ⅱ）：设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，

2C51则P?A??3?， ……（8分）

C6215 35 15 C114P?AB??3?， ……（10分）

C65P?AB?2∴P?BA???．

P?A?5故在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为

2. ……（12分） 518．解析：（Ⅰ）∵点E在平面ABD上的射影是△ABD的垂心G。连结BG，则BG?AD，又EG?平面ABD，

∴EG?AD

∴AD?平面BGE，∴AD?BE即AD?A1B。 ……（5分） （Ⅱ）以C点为坐标原点，分别以射线CA为x轴、CB为y轴、CC1为z轴建立空间直角坐标系。 设点的坐标为A（a,0,0），则点B（0,a,0），A1（a，0，2），D（0，0，1）。……（6分）

????由（Ⅰ）知AD?A1B，又AD?(?a,0,1)，BA. （a,?a,2）1?由AD?BAa?2。……（8分） 1?0可得∴A(2,0,0)，B(0,2,0)，D(0,0,1)，A1(2,0,2).

????AB?(?2,2,0)，AD?(?2,01)，BA1?(2,?2,2)

设平面求ABD的一 个法向量n?(x,y,z)，

C1

A1 D E C G A

B

???2x?2y?0?y?x??∴?，

??z?2x??2x?z?0取n?(x,y,z)?(1,1,2)……（10分） 故cosn,BA1?B1

2?2?222?221?, 2所以A1B与平面ABD所成角的为

? 。 ……（12分） 619．解析：(1)∵f(x)?ax3?8x过点P(2,0),

∴a?2，f(x)?2x3?8x, ……（2分） ∵f'(x)?6x2?8，∴切线的斜率k?f?(2)?16. ∵g?(x)?2bx?c,f?(2)?g?(2)?4b?c?16……（1） 又∵g(x)?bx2?cx的图像过点P(2,0),?4b?2c?0……（2）

联立（1）（2）解得：b?8,c??16. ……（4分） ∴g(x)?8x2?16x；切线方程为y?16(x?2)，即16x?y?32?0.

∴f(x)?2x3?8x，g(x)?8x2?16x；切线为：16x?y?32?0. ……（6分） （2）∵F(x)?m(x?2)?ln(x?1)，

∴F?(x)?m?1mx?m?1?(x?1)……（9分） x?1x?1

m[x?(1? ①当m<0时，F?(x)?1)]m，

x?1∵m<0，∴1?1?1m。

1)时，F?(x)?0 ； m1当x?(1?,??)时，F?(x)?0。

m11∴F(x)的单调减区间是(1?,??),单调增区间是(1，1?)； ……（11分）

mm

②当m?0时，显然F(x)没有单调减区间，单调增区间是(1，??)。 ……（13分）

?41065?x2y22?代入2?，?120．解析：（1）将点?解得a?16：

?55?a12??又x>1，∴当x?(1,1?x2y2∴椭圆C1为： ??1， ……（2分）

1612椭圆C的离心率为e?1∴双曲线C2的离心率为e?2， ……（3分） 2?m2?n22?2??m?4??m??2∴ ?， ?n?12?32?36?1???5m25n2x2y2∴双曲线C2为：??1 ……（6分）

412?y?kx?t?（2）由?x2消去y化简整理得：(3?4k2)x2?8ktx?4t2?48?0 y2?1???16128kt设A?x1，y1?，B?x2，y2?，则x1?x2?? 23?4k ……（8分） ?1?(8kt)2?4(3?4k2)(4t2?48)?0 ①

?y?kx?t?由?x2消去y化简整理得：(3?k2)x2?2ktx?t2?12?0 y2?1???4122kt设C?x3，y4?，D?x4，y4?，则x3?x4? 23?k ……（10分） ?2?(?2kt)2?4(3?k2)(t2?12)?0 ②

????????因为AC?BD?0，所以(x4?x2)?(x3?x1)?0,(y4?y2)?(y3?y1)?0.

8kt2kt?由x1?x2?x3?x4得：?． 223?4k3?k41??所以kt?0或．由上式解得k?0或t?0． 3?4k23?k2当k?0时，由①和②得?23?t?23．因t是整数， 所以t的值为?3，?2，?1，0，1，2，3． 当t?0，由①和②得?3?k?3．因k是整数，所以k??1，0，1．

于是满足条件的直线共有9条． ……（13分） 21．（1）证明：∵ an?1?an?27，a1??，

5an?173?2??23∴ a2?5??1， ??，a3?2372??1??125?由于当a3??1时，使递推式右边的分母为零。 ∴数列{an}只有三项：a1??（2）an?1?73，a2??，a3??1. ……（3分） 52an?2，a1?1易知：an?0， an?1an?21?1??1，

an?1an?1又an?1?∴an?1 ……（5分） 由an?1?an?2a?2?an?1?2?n?2

an?1an?1?an?1?2?1?2a(an?2) n?1?|a2|?|1?2n?1?a?1|?|an?2|

n?b1?2n?1?|a?1|?bn，

n?b2?1n?1?a?1?b?2?1n2bn?bn n即an?1?an 3）由（2）知： an?1，

∴b2?1n?1?a?1?b111n?2bn?(2)2bn?1???(2)nb1 n∵b1?|a1?2|?2?1，

∴b1n?1n?1n?(2)b(2?1)(11?2) Sb??b1???(1n?1?b2?n?(2?1)[1?)n?122]1?(1)n?(2?1)2?2(2?1)?2， 1?12Sn?2 ……（8分） ……（11分）（13分）

（

∴

……

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