第四讲+中值定理与不等式证明(4)

(1) 写出f(x)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式;

3(2) 证明在[?a,a]上至少存在一点?，使af??(?)?3?f(x)dx.

?aa

【应用定理】闭区间上连续函数的介值定理：设f(x)在?a,b?上连续，f(a)?f(b)，则对

f(a)与f(b)之间的任何数?，必存在c(a?c?b)，使得f(c)??.

【详解】(1)麦克劳林公式其实就是泰勒公式中，把函数在零点展开.

f(x)的拉格朗日余项一阶麦克劳林公式为：

f(x)?f(0)?f?(0)x?1f??(?)2f??(?)x2?f?(0)x?x， 22其中?位于0和x为端点的开区间内，x???a,a?.

(2)方法1：将f(x)从?a到a积分

?a?af(x)dx??f?(0)xdx??aa1a2??f(?)xdx. ??a2而

??a?aax2af?(0)xdx?f?(0)?xdx?f?(0)??0

?a2?aa从而有

?af(x)dx?1a2??f(?)xdx. ??a2因f??(x)在??a,a?上连续，故有f??(x)在??a,a?上存在最大值M，最小值m(由闭区间上的连续函数必有最大值和最小值)，即

m?minf??(x),M?maxf??(x),

[?a,a][?a,a]易得 m?f??(x)?M,x?[?a,a].

aa1a11x3aMa322f(x)dx??f??(?)xdx?M?xdx?M?,

?a?a?a22233因此

??aaa1a11322??同理 ?f(x)dx??f(?)xdx?m?xdx?ma.

?a2?a2?a33a因此 m?3?f(x)dx?M.

a?a由连续函数介值定理知，存在????a,a?，使

f??(?)?3a3?a?af(x)dx，即af??(?)?3?f(x)dx.

?a3a方法2 ：观察要证的式子，做变限函数：F(x)??x?xf(t)dt，易得F(0)?0，

F?(x)?f(x)?f(?x)(变限积分求导)

F??(x)??f(x)?f(?x)???f?(x)?f?(?x) F???(x)??f?(x)?f?(?x)???f??(x)?f??(?x)

则有 F?(0)?f(0)?f(?0)?0?0?0

F??(0)?f?(0)?f?(?0)?f?(0)?f?(0)?0

将它展开成2阶带拉格朗日余项麦克劳林公式：

11F(x)?F(0)?F?(0)x?F??(0)x2?F???(?)x3

23!11?0?0?F???(?)x3?(f??(?)?f??(??))x3

66其中??(0,x)，x???a,a?

由于f??(x)在??a,a?上连续，则由连续函数介值定理，存在?????,??，使

f??(?)?11(f??(?)?f??(??))(因为(f??(?)?f??(??))?f??(x),x???a,a?) 22于是有，存在????a,a?，使

1111F(x)?0?0?F???(?)x3??(f??(?)?f??(??))x3?f??(?)x3

6323a1a33f??(?) ????a,a? 把x?a代入F(x)有：F(a)?f??(?)a，即?f(x)dx??a33即 af??(?)?33?a?af(x)dx ????a,a?

【例20】（99,2）设函数f?x?在闭区间??1,1?上具有三阶连续导数，且f??1??0，f?1??1，

f??0??0，证明：在开区间??1,1?内至少存在一点?，使f???????3.

【详解】解法1：由麦克劳林公式得

f(x)?f(0)?f?(0)x?11f??(0)x2?f???(?)x3，其中?介于0与x之间，x?[?1,1] 2!3!分别令x??1,x?1并结合已知条件得 f(?1)?f(0)?11f??(0)?f???(?1)?0,?1??1?0 2611f(1)?f(0)?f??(0)?f???(?2)?1,0??2?1

26两式相减，得f???(?2)?f???(?1)?6

由f???(x)的连续性，知f???(x)在区间[?1,?2]上有最大值和最小值，设它们分别为M和m，

则有m?1?f???(?2)?f???(?1)??M 2再由连续函数的介值定理知，至少存在一点??[?1,?2]?(?1,1)，使 f???????1?f???(?2)?f???(?1)??3 2解法2：构造函数?(x)，使得x?[?1,1]时??(x)有三个0点，???(x)有两个0点，从而使用罗尔定理证明?必然存在.

设具有三阶连续导数?(x)?f(x)?ax3?bx2?cx?d

1?a?????(?1)?f(?1)?a?b?c?d?02f?1?0??????(0)?f(0)?d?01???令 ?，将?f?1??1代入得?b?f(0)?

2?f??0??0???(1)?f(1)?a?b?c?d?0??c?0????(0)?f?(0)?c?0?d??f(0)?代入?(x)得 ?(x)?f(x)?131x?(f(0)?)x2?f(0) 22由罗尔定理可知，存在?1?(?1,0),?2?(0,1)，使??(?1)?0,??(?2)?0

又因为??(0)?0，再由罗尔定理可知，存在?1?(?1,0),?2?(0,?2)，使得???(?1)?0,???(?2)?0 再由罗尔定理知，存在??(?1,?2)?(?1,?2)?(?1,1)，使 ????(?)?f???(?)?3?0 即 f???(?)?3.

【题型六】微分不等式证明

方法一:利用单调性

程序：1）构造辅助函数F?x?（一般方法是移项，整理使不等式一端为0，另一端为所做辅助函数）2）利用单调性判定定理，判定F?x?在所讨论范围内的单调性3）求F?x?在所讨论范围的某个端点的函数值或极限值的符号，从而推出不等式。 方法二:利用最大、最小值

程序：1）构造辅助函数F?x?（一般方法是移项，整理使不等式一端为0，另一端为所做辅助函数）2）求F?x?在所讨论范围的最大值或最小值3）若F?x?在区间I上的最大值为M，

则F?x??M(x?I)，若F?x?在区间I上的最小值为m，则F?x??m(x?I) 方法三:利用利用拉格朗日中值定理或柯西中值定理

程序：1）对所证明的不等式变形，使不等式一端变为

f(b)?f(a)f(b)?f(a)或的形式。

b?ag(b)?g(a)2）若1）中一端出现

f(b)?f(a)的形式，则对函数f(x)在[a,b]上使用

b?a拉格朗日中值定理，若1）中一端出现

f(b)?f(a)的形式，则对函数f(x)，f(x)在[a,b]

g(b)?g(a)上使用柯西中值定理，3）根据中值定理得到的?的关系式及?的取值范围，从而推出不等式。 【评注】由f(b)?f(a)?f?????b?a?，若m?f??x??M，则

m?b?a??f?b??f?a??M?b?a?，?b?a?

方法四:利用凹凸性

方法：若f???x??0，x??a,b??f??x?单增?f??a??f??x??f??b?，但由f??a??0或f??b??0，是无法导出f??x?是定号的，且f??x??0的点无法确定，但若知

f?a??f?b??0此时可由曲线凹凸性得不等式，即f?x??0，a?x?b

类似地：可讨论f???x??0的情形。 方法五:利用泰勒公式

【评注】若已知函数具有2阶或2阶以上的导数，则可试用泰勒公式，通常在区间的端点，中点或函数值，导数值为零的点展开。

2【例21】（04,2）设e?a?b?e, 证明lnb?lna?224(b?a). 2e【详解】根据要证不等式的形式，可考虑用拉格朗日中值定理或转化为函数不等式用单调性证明.

22方法1：因为函数f?x??lnx在[a,b]?e,e上连续，且在?a,b?内可导，所以满足拉格

??朗日中值定理的条件，

对函数f?x??lnx在[a,b]上应用拉格朗日中值定理，得

22ln?ln2b?ln2a??ln2????b?a???b?a?,??e?a???b?e2

?下证：

2ln???4. e2设?(t)?lnt1?lnt，则??(t)?，当t?e时，1?lnt?1?lne?0 ，即??(t)?0, 所tt2以?(t)单调减少，又因为??e2，所以?(?)??(e2)，即

ln?42ln?4lne22?2故 ln2b?ln2a?2(b?a). ?2?2，得

e?e?ee2方法2：利用单调性， 设?(x)?lnx?4x，证?(x)在区间?e,e2?内严格单调增即可. 2elnx41?lnxlne24442??(x)?2?2，(??(e)?22?2?2?2?0，)???(x)?2,

xex2eeee1?lnx?1?lne?0，???(x)?0, 故??(x)单调减少，当x?e时，从而当e?x?e时，

2??(x)???(e2)?0，即当e?x?e2时，?(x)单调增加.

2因此当e?x?e时，?(b)??(a)，即lnb?222442b?lna?a， 22ee4(b?a). 2e4lnx41?lnx22?2，???(x)?2方法3：设?(x)?lnx?lna?2(x?a), 则??(x)?2, xex2e故 lnb?lna??x?e时, 1?lnx?1?lne?0，得???(x)?0，

???(x)在(e,e2)上单调减少, 从而当e?x?e2时, ??(x)???(e2)?44?2?0，2ee??(x)在(e,e2)上单调增加. 从而当e?a?x?b?e2时, ?(x)??(a)?0. ??(b)?0，即ln2b?ln2a?【例22】设lim4(b?a). 2ef(x)?1，且f??(x)?0，证明f(x)?x

x?0xf(x)?1知f(0)?0，f?(0)?1由泰勒公式知 证法1 由limx?0xf??(?)2f??(?)2f(x)?f(0)?f?(0)x?x?x?x ?x （f??(x)?0）原式得证

2!2!证法2 由证法1知f(0)?0，f?(0)?1

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