第四讲+中值定理与不等式证明

第五讲 中值定理及不等式证明

考试内容精讲

一、连续函数的介值定理

1、(介值定理)若函数f?x?在?a,b?上连续,?是介于f?a?与f?b?(或最大值M与最小值m之间的任一实数,则在?a,b?上至少?一个?,使得f?????.?a???b?

2、(零点定理或根的存在性定理)设函数f?x?在?a,b?上连续,且f?a??f?b??0,则在?a,b?内

至少?一个?,使得f????0.?a???b?

二、微分学中值定理

1、(费尔马定理)若函数f(x)满足条件：

(1)函数f(x)在x0的某邻域内有定义，并且在此邻域内恒有f(x)?f(x0)或f(x)?f(x0) (2)f(x)在x0处可导。 则有f?(x0)?0

几何意义：若函数f(x)在x?x0处取得极值，则相应的曲线y?f(x)在点?x0,f(x0)?处存在切线，若切线不垂直x轴，则切线必平行于x轴。

2（罗尔定理）设函数f(x)在[a,b]上满足三个条件:(1) f(x)在[a,b]上连续; (2)f(x)在(a,b)内可导;(3)f(a)?f(b),则存在??(a,b)使f?(?)?0。

几何意义：若连续曲线y?f(x)在A?a,f(a)?，B?b,f(b)?两点间的每一点都有不垂直于x轴的切线，又A,B两点纵坐标相等，则A,B间至少存在一点P??,f(?)?，使得在处的切线平行于必x轴。

【推论】：设函数y?f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(x)的最大（小）值在点

??(a,b)达到，则f?(?)?0

3.（拉格朗日定理）设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导, 则存在??(a,b),使f?(?)?f(b)?f(a)

b?a【评注】1.拉格朗日中值公式f(b)?f(a)?f?(?)(b?a)，??(a,b)

2.有限增量公式f(x0??x)?f(x0)?f?(?)?x

或f(x??x)?f(x)?f?(x???x)?x,0???1.

3．涉及一个函数的函数改变量与函数某点导数关系的命题，一般可用拉格朗日定理处理。 【推论】1）：若f(x)在(a,b)内可导，且f'(x)?0，则f(x)在(a,b)内恒为常数。 2）.若对?x??a,b?，有f?(x)?g??x?，则f(x)?g?x??C，其中C为一常数。 4(柯西定理)设函数f(x)和g(x)满足条件:(1)在[a,b]上连续,(2)在(a,b)内可导,且

g?(x)?0,则存在??(a,b),使f?(?)f(b)?f(a)。 ?g?(?)g(b)?g(a)【评注】涉及两个不同函数的函数改变量与其在某点导数关系的命题，一般可用柯西中值定理定理处理。

5（泰勒公式)

定理1（拉格朗日余项）

设f(x)在x0的邻域I内有直到(n?1)阶导数,那么对?x?I,至少存在一个?使

f??(x0)f(n)(x0)2f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?(x?x0)???(x?x0)n?Rn(x)2!n!

f(n?1)(?)其中 Rn(x)?(x?x0)n?1 ?在x0与x之间.

(n?1)!定理2（皮亚诺余项）设f(x)在x0点n阶可导,那么

f??(x0)f(n)(x0)2f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?(x?x0)???(x?x0)n?Rn(x)

2!n!其中 Rn(x)??(x?x0)n, (x?x0)．

【评注】1）若泰勒公式中x0?0，则称该公式为麦克劳林公式应熟记简单初等函数的麦克劳林公式:

x2xn1?xn?1e?1?x?????ex [余项或?(xn)]

2!n!(n?1)!xx31x2k?1k?12k?1ksinx?x????(?1)x?(?1)cos?x[余项或?(x2k)]

3!(2k?1)!(2k?1)!2k?1x21xcosx?1????(?1)k?1x2k?(?1)kcos?x[余项或?(x2k?1)]

2!(2k)!(2k?2)!(1?x)??1??x??(??1)2!x2????(??1)?(??n?1)n!xn??(??1)?(??n)(n?1)!(1??x)??n?1 [余项或?(xn)]

nn?1x2x3xxln(1?x)?x?????(?1)n?1?(?1)n(1??x)?n?1

23nn?1(x?1) [余项或?(xn)]

【练习1】(1)求函数f(x)?tanx的一阶麦克劳林公式;

(2)当x0?4时,求函数y?x的一阶泰勒公式.

解(1)f(x)?tanx f?(x)?sec2x f??(x)?2sec2xtanx

f(0)?0 f?(0)?1 f(x)?f(0)?f?(0)x?f??(?)2x 2!tanx?x?sin?2x ?在0与x之间. 3cos?(2) 当x0?4时,求函数y?x的一阶泰勒公式.

1f??(?)(x?4)2 23f(x)?f(4)?f?(4)(x?4)?f(4)?21f?(4)?41?f??(x)??x2

43111?2?x?2?(x?4)?(??)(x?4)2.

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三、积分学中值定理

如果f?x?在区间?a,b?连续，则在?a,b?至少存在一点?，使

?f?x?dxab?b(?a)f(?)，常

1bf?x?dx 为函数f?x?在区间?a,b?的平均值 称

b?a?a常考题型与典型例题

【题型一】闭区间上连续函数的命题

方法一（直接法）先利用最值定理m?f(x)?M，然后利用介值定理 适用于：在闭区间[a,b]上存在?，使得关于?的关系成立

方法二（间接法）作辅助函数F(x)，若作F(x)的过程无积分运算，则验证F(x)满足零值定理，若作F(x)的过程有积分运算，则验证F(x)满足罗尔定理 适用于：在开区间(a,b)上存在?，使得关于?的关系成立 辅助函数的作法： 1）将欲证结论?改为x

2）移项整理使一端为0，另一端记为F3）令F(x)?F???x?

?x?，若F??x?满足零值定理，则F??x?为辅助函数。

?4）若不满足则改令F'(x)?F??x?，此时F(x)?F?x?dx，（令不定积分常数为零）

??再验证F(x)?F?x?dx是否满足罗尔定理，若满足则得证。

?5）若不满足则令F(x)?F''?， ?x??F(x)（两次积分）

再将F(x)在指定点展开成一阶泰勒公式，命题即可得证。

【例1】（02,3）设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续，且g(x)?0.利用闭区间上连续函数性质，证明存在一点??[ab,]，使

f(x)g(x)dxf?(?)g(x)dx ??bbaa【详解】方法1：因为f(x)与g(x)在?a,b?上连续，所以存在x1x2使得

f(x1)?M?maxf(x)，f(x2)?m?minf(x)，

x?[a,b]x?[a,b]满足m?f(x)?M．又g(x)?0，故根据不等式的性质mg(x)?f(x)g(x)?Mg(x) 根据定积分的不等式性质有m?bag(x)dx??f(x)g(x)dx?M?g(x)dx,

aabb?所以 m?baf(x)g(x)dx?bag(x)dx?M.

?由连续函数的介值定理知，存在??[a,b]，使f(?)?即有

baf(x)g(x)dx?b

ag(x)dx?baf(x)g(x)dx?f(?)?g(x)dx．

ab【例2】（00,3）设函数f(x)在?0,??上连续，且

??，试证f(x)dx?0,f(x)cosxdx?0??00明：在(0,?)内至少存在两个不同的点?1,?2，使f (?)?f(?)?0.12【证明】方法1：令F(x)?又由题设

?x0f(t)dt,0?x??，有F(0)?0,由题设有F(?)?0.

??00??0f(x)cosxdx?0，用分部积分，有0??f(x)cosxdx??cosxdF(x)

?F(x)cosx再令G?x??x0?0??F(x)sinxdx??F(x)sinxdx

00???F?x?sinxdx，则G?0??G????0，即在区间上满足罗尔定理条件

故存在??(0,?)使G?(?)?0，即F???sin??0；因为??(0,?)，sin??0，所以推知存在??(0,?),使得F(?)?0. 再在区间[0,?]与[?,?]上对F(x)用罗尔定理，推知存在

?1?(0,?)，?2?(?,?)使F?(?1)?0,F?(?2)?0，即 f(?1)?0,f(?2)?0

【练习】设f(x),g?x?在?a,b?上连续，证明：????a,b?使

f????g?x?dx?g????f?x?dx

?ab?【详解】【证明】F(x)?又F(a)?aa?xag?t?dt?f?t?dt，则F(x)在?a,b?上连续，在?a,b?内可导，

bbbabx?g?t?dt?f?t?dt?0，F(b)??g?t?dt?f?t?dt?0所以，F(x)在?a,b?上

ab满足罗尔定理，故????a,b?使得F(?)?0，即f???'??bg?x?dx?g????f?x?dx

a?【例3】（98,2）设y?f(x)是区间[0,1]上的任一非负连续函数.

(1)试证存在x0?(0,1),使得在区间[0,x0]上以f(x0)为高的矩形面积,等于在[x0,1]上以

y?f(x)为曲边的梯形面积.

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