江苏省徐州市2010届高三数学信息卷(3)

所以，60?800?2000a?0，得a?24． ???????????????2分

所以，为使人均发放的年终奖年年有增长，该企业员工每年的净增量不能超过23人． ????????????????????????????????1分

解法二：y?2000?60x?800?ax2000?60x?60?80080080?60?2000?60?aa?1(60?a) 80080aa(x?)x?aa????????????????????????????????4分 由题意，得2000?60?800?0，解得a?24． ???????????2分 a所以，为使人均发放的年终奖年年有增长，该企业员工每年的净增量不能超过23人． ????????????????????????????????1分

10（本题满分16分）

如图所示，某人在斜坡P处仰视正对面山顶上一座铁塔，塔高AB=80米，塔所在山高OA=220米，OC=200米，观测者所在斜坡CD近似看成直线，斜坡与水平面夹角为?，tan??1 2（1）以射线OC为Ox轴的正向，OB为Oy轴正向，建立直角坐标系，求出斜坡CD所在直线方程； （2）当观察者P视角∠APB最大时，求点P的坐标（人的身高忽略不计）.

y

B A P O OD x10．（1）CD：y?1(x?200)（2’） 2（2）记P(x,y)，∵PA?OC?200?AB，∴∠APB为锐角

tan∠APB=

kPA?kPB1?kPA?kPBy?220y?300?xx（4’） ?y?220y?3001??xx80（10’）

5x128000??3604x2?（14’） 115x128000?等号当 即x?320,y?60时取到 4x=

∴当观测者位于P（320，60）处视角最大为arctan2（16’） 11 11．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．

x2y2c5?1已知椭圆C：2?2?1（a?b?0），其焦距为2c，若?（?0.618），则称椭圆C为“黄

aba2金椭圆”． x2y2（1）求证：在黄金椭圆C：2?2?1（a?b?0）中，a、b、c成等比数列．

abx2y2（2）黄金椭圆C：2?2?1（a?b?0）的右焦点为F2(c,0)，P为椭圆C上的

ab?????????任意一点．是否存在过点F2、P的直线l，使l与y轴的交点R满足RP??3PF2？若存在，求直线l的斜

率k；若不存在，请说明理由．

x2y2（3）在黄金椭圆中有真命题：已知黄金椭圆C：2?2?1（a?b?0）的左、右

ab焦点分别是F1(?c,0)、F2(c,0)，以A(?a,0)、B(a,0)、D(0,?b)、E(0,b)为顶点的菱形ADBE的内切圆过焦点F1、F2．

试写出“黄金双曲线”的定义；对于上述命题，在黄金双曲线中写出相关的真命题，并加以证明．

11．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分． （1）证明：由

c5?15?125?12?a)?a 及b2?a2?c2，得b2?a2?c2?a2?(a222（4分） ?ac，故a、b、c成等比数列．

（2）解：由题设，显然直线l垂直于x轴时不合题意，设直线l的方程为y?k(x?c)，

?????????得R(0,?kc)，又F2(c,0)，及RP??3PF2，得

22P的坐标为(3ckc（6分） ,)，

22?3c??kc?2????9?c?k2c2?2???2??1，又b?ac，得?????1， 因为点P在椭圆上，所以22ab4?a?4ak2?13?5513?55?0，故存在满足题意的直线l，其斜率k??．（10分） 22x2y2c5?1（3）黄金双曲线的定义：已知双曲线C：2?2?1，其焦距为2c，若?（或写成

aba2a5?1?0.618）?，则称双曲线C为“黄金双曲线”．（12分）

c2x2y2在黄金双曲线中有真命题：已知黄金双曲线C：2?2?1的左、右焦点分别是F1(?c,0)、F2(c,0)，以

abF1(?c,0)、F2(c,0)、D(0,?b)、E(0,b)为顶点的菱形F1DF2E的内切圆过顶点A(?a,0)、B(a,0)．（14分）

证明：直线EF2的方程为bx?cy?bc?0，原点到该直线的距离为d?bcb?c22，

将b2?ac代入，得d?cacac?c2?caa?c，又将c?5?1a代入，化简得d?a， 2故直线EF2与圆x2?y2?a2相切，同理可证直线EF1、DF1、DF2均与圆x2?y2?a2相切，即以A(?a,0)、

B(a,0)为直径的圆 x2?y2?a2为菱形F1DF2E的内切圆，命题得证．（16分）

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