江苏省徐州市2010届高三数学信息卷

江苏省徐州市2010届高三数学信息卷

数学 5/8/2010

一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上.。 1．函数y?x?1的定义域是__???,?2??[1,??) x?2a?i是纯虚数，则a? 1 1?i?2. 已知a是实数，开始3． 若数列{an}满足：a1?1,an?1?2an(n?N)，则前6项的和S6? 63. a?1,s?1a?4?是 输出s(x?[0,4. 函数y?sin2x?cos2x　?2])的值域为 [?1,2]； 1225．若无穷等比数列{an}的各项和等于a1，则a1的取值范围是 (,1)?(1,??) . 否 3?6．若y?sin(2x??)?cos(2x??)为奇函数，则最小正数?的值为 ?? . 47．阅读右边的程序框图，该程序输出的结果是 729 ． ?x?08. 在约束条件?下，当3?s?5时，目标函数z?y?0??y?x?s??y?2x?4s?s?9结束a?a?1?3x?2y的最大值的变化范围是 [7,8 ] 解析：画出可行域如图3所示,当3?s?4时, 目标函数z?3x?2y在B(4?s,2s?4)处取得最大值, 即zmax?3(4?s)?2(2s?4)?s?4?[7,8);当4?s?5时, 目标函数z?3x?2y在点E(0,4)处取得最大值,即 zmax?3?0?2?4?8,故z?[7,8] 点评：本题设计有新意，作出可行域，寻求最优解条件，然后转化为目标函数Z关于S的函数关系是求解的关键。 9. 已知a?1时，集合?a,2?a?有且只有3个整数，则a的取值范围是________.?1?a?0 ___

10．已知二次函数y?f(x)的图像为开口向下的抛物线，且对任意x?R都有f(1?x)?f(1?x)．若向量

????a?(m,?1)，b?(m,?2)，则满足不等式f(a?b)?f(?1)的m的取值范围为 0≤m?1 ．

11．在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标均为整数的点称为整点，对任意自然数n，联结原点O与点

An(n,n?3)，若用f(n)表示线段OAn上除端点外的整点个数，则f(1)?f(2)???f(2010)?____1340__． 提示： 周期性T=3; 0 0 2 ; 0 0 2******

12．若不等式x2?22xy≤a(x2?y2)对于一切正数x、y恒成立，则实数a的最小值为 2 ．

2213． 已知AC,BD为圆O:x?y?4的两条互相垂直的弦，AC,BD交于点M1,2，且AC?BD??，

则四边形ABCD的面积等于 5 .

14．我们知道，如果定义在某区间上的函数f(x)满足对该区间上的任意两个数x1、x2，总有

不等式

f(x1)?f(x2)x?x?f(12)成立，则称函数f(x)为该区间上的向上凸函数（简

22称上凸）. 类比上述定义，对于数列?an?，如果对任意正整数n，总有不等式：

an?an?2?an?1成立，则称数列?an?为向上凸数列（简称上凸数列）. 现有数列?an?满足如下两个2条件：

（1）数列?an?为上凸数列，且a1?1,a10?28；

（2）对正整数n（1?n?10,n?N*），都有an?bn?20，其中bn?n2?6n?10. 则数列?an?中的第五项a5的取值范围为 ?13,25? . 二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内.

15.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.

已知向量a?(3sin3x,?y),b?(m,cos3x?m)(m?R)，且a?b?0. 设y?f(x).

（1）求f(x)的表达式，并求函数f(x)在[（2）若对任意x?[0,解：（1）a?b?0，即?2?]上图像最低点M的坐标.

189,??9]，f(x)?t?9x?1恒成立，求实数t的范围.

，??????????????????????2分

?3sin3x?m?0??y?cos3x?m?0消去m，得y?3sin3x?cos3x， 即f(x)?3sin3x?cos3x?2sin(3x??6)，????????????????2分

??5??2??1x?[,]时， 3x??[,]，sin(3x?)?[,1]，??????????2分

636189622?即f(x)的最小值为?1，此时x?

92?所以函数f(x)的图像上最低点M的坐标是(,?1)??????????????2分

9（2）f(x)?t?9x?1, 即2sin(3x?当x?[0,?6)?9x?t?1，

?9]时, 函数f(x)?2sin(3x??6)单调递增，y?9x单调递增，

所以y?2sin(3x?所以y?2sin(3x?为要2sin(3x?16、（本题满分14分）

?6)?9x在[0,?9]上单调递增，???????????????2分

?6)?9x的最小值为1, ???????????????????2分

?6)?9x?t?1恒成立，只要t?1?1，所以t?0为所求.??????2分

多面体ABCDE中，AB?BC?AC?AE?1，CD?2，AE?面ABC，AE//CD。 （1）求证：AE//面BCD； （2）求证：面BED?面BCD。

16、证明：（1）∵AE//CD

AE?面BCD

∴AE//面BCD ??4分

（2）令BC中点为N，BD中点为M，连结MN、EN ∵MN是?BCD的中位线

∴MN//CD ??6分 又∵AE//CD ∴AE//MN

∴MN?面ABC ??8分 ∴MN?AN ∵?ABC为正?

∴AN?BC ??10分

∴AN?面BCD

又∵AE?MN?1，AE//MN

∴四边形ANME为平行四边形 ??12分

∴EN?面BCD

∴面BED?面BCD ??14分 17．（本题满分14分）

已知圆M的方程为x2?(y?2)2?1，直线l的方程为x?2y?0，点P在直线l上，过P点作圆M的切线

PA,PB，切点为A,B．

（1）若?APB?60?，试求点P的坐标；

（2）若P点的坐标为(2,1)，过P作直线与圆M交于C,D两点，当CD?2时，求直线CD的方程； （3）求证：经过A,P,M三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标.

解：（1）设P(2m,m)，由题可知MP?2，所以(2m)?(m?2)?4，解之得：m?0,m?故所求点P的坐标为P(0,0)或P(,)． ????????????????4分

224 58455（2）设直线CD的方程为：y?1?k(x?2)，易知k存在，由题知圆心M到直线CD的距离为2，所22?2k?1以， ????????????????6分 ?221?k解得，k??1或k??1， 7故所求直线CD的方程为：x?y?3?0或x?7y?9?0．?????????8分 （3）设P(2m,m)，MP的中点Q(m,m?1)，因为PA是圆M的切线 2所以经过A,P,M三点的圆是以Q为圆心，以MQ为半径的圆， 故其方程为：(x?m)?(y?2mm?1)2?m2?(?1)2???????????10分 22化简得：x2?y2?2y?m(x?y?2)?0，此式是关于m的恒等式，

?x2?y2?2y?0,?x?0?x?1,

故?解得?或?

y?1.x?y?2?0,y?2???所以经过A,P,M三点的圆必过定点(0,2)或(1,1).?????????????14分

18．（本题满分16分）本大题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满8分.

2010年上海世博会组委会为保证游客参观的顺利进行，对每天在各时间段进入园区和离开园区的人数作了一个模拟预测. 为了方便起见，以10分钟为一个计算单位，上午9点10分作为第一个计算人数的时间，即n?1；9点20分作为第二个计算人数的时间，即 n?2；依此类推??，把一天内从上午9点到晚上24点分成了90个计算单位.

对第n个时刻进入园区的人数f(n)和时间n（n?N）满足以下关系（如图1）：

?3600?n?24??3600?312f(n)????300n?21600?0?(1?n?24)(37?n?72)(73?n?90)(25?n?36)，n?N?

f(n)f(n) 10800 108003600 36001 11 24 36 72 90 O172n 3624对第n个时刻离开园区的人数g(n)和时间 ： n（n?N）满足以下关系（如图2）

?90ng(n)24000 （图1）

0(1?n?24)??g(n)??500n?12000(25?n?72),n?N??5000(73?n?90)?（1）试计算在当天下午3点整（即15点整） 时，世博园区内共有多少游客？

（2）请求出当天世博园区内游客总人数最多

的时刻. 解：（1）当0?n?24且n?N时，f(n)?3600，

? 12000 6000 5000 O 24 36 72 90 n图2

当25?n?36且n?N时，f(n)?3600?3?n?2412?????????????????2分

所以S36??f(1)?f(2)?f(3)???f(24)?????f(25)?f(26)???f(36)?

?12312312?1??? ?3600×24?3600×?12?3?1?????86400?82299.59?168700；????????????????????2分

另一方面，已经离开的游客总人数是：

??T12?g(25)?g(26)???g(36)?12×500?12?11?500?39000；???????2分 2所以S?S36?T12?168700?39000?129700（人）

故当天下午3点整（即15点整）时，世博园区内共有129700位游客. ????????2分 （2）当f(n)?g(n)?0时园内游客人数递增；当f(n)?g(n)?0时园内游客人数递减.

(i)当1?n?24时，园区人数越来越多，人数不是最多的时间；??????????????2分 (ii)当25?n?36时，令500n?12000?3600，得出n?31，

即当25?n?31时，进入园区人数多于离开人数，总人数越来越多；???????????2分 当32?n?36时，3600?3n?2412?500n?12000，进入园区人数多于离开人数，总人数越来越

多；?????????????????????????????????????????????2分

(iii)当37?n?72时， 令?300n?21600?500n?12000时，n?42， 即在下午4点整时，园区人数达到最多.

此后离开人数越来越多，故园区内人数最多的时间是下午4点整. ??????????????2分 19．（本题满分16分）．

已知定义在R上的函数f(x)和数列{an}满足下列条件：

? a1?a，a2?a1，当n?N且n?2时，an?f(an?1)且f(an)?f(an?1)?k(an?an?1)．

其中a、k均为非零常数．

（1）若数列{an}是等差数列，求k的值；

（2）令bn?an?1?an(n?N)，若b1?1，求数列{bn}的通项公式； （3）试研究数列{an}为等比数列的条件，并证明你的结论．

说明：对于第3小题，将根据写出的条件所体现的对问题探究的完整性，给予不同的评分。 19．（1）由已知an?f(an?1)，f(an)?f(an?1)?k(an?an?1)(n?2,3,4,???)，得

?an?1?an?f(an)?f(an?1)?k(an?an?1) (n?2,3,4,???)

由数列{an}是等差数列，得an?1?an?an?an?1(n?2,3,4,???)

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