2015年天津南开中学高三月考文科数学卷(2)

专题： 函数的性质及应用．

分析： 先求出函数的定义域，再把函数转化为对应的方程，在坐标系中画出两个函数y1=|x﹣2|，y2=lnx（x＞0）的图象求出方程的根的个数，即为函数零点的个数． 解答： 解：由题意，函数f（x）的定义域为（0，+∞）；

由函数零点的定义，f（x）在（0，+∞）内的零点即是方程|x﹣2|﹣lnx=0的根． 令y1=|x﹣2|，y2=lnx（x＞0），在一个坐标系中画出两个函数的图象： 由图得，两个函数图象有两个交点，

故方程有两个根，即对应函数有两个零点． 故选C．

点评： 本题考查了函数零点、对应方程的根和函数图象之间的关系，通过转化和作图求出函数零点的个数．

6．已知函数f（x）=sin（2x﹣ A．

B．

），若存在a∈（0，π），使得f（x+a）=f（x+3a）恒成立，则a=（ ）

C．

D．

考点： 三角函数的周期性及其求法；函数恒成立问题． 专题： 计算题． 分析： 首先求出f（x+a）和f（x+3a），然后根据正弦的周期性求出a的值． 解答： 解：f（x+a）=sin（2x+2a﹣f（x+3a）=sin（2x+6a﹣

）

）

因为f（x+a）=f（x+3a），且a∈（0，π） 所以2x+2a﹣∴a=

使得f（x+a）=f（x+3a）恒成立． +2π=2x+6a﹣

即存在a=

故选D． 点评： 本题考查了三角函数的周期性，要注意a∈（0，π）的范围，属于基础题．

7．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣（ ）

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＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是

A．

B．

C．

D．

考点： y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义． 专题： 三角函数的图像与性质．

分析： 根据函数在同一周期内的最大值、最小值对应的x值，求出函数的周期T=函数当x=题的答案．

解答： 解：∵在同一周期内，函数在x=∴函数的周期T满足=由此可得T=

﹣

=

，

时取得最大值，x=

时取得最小值，

时取得最大值2，得到

+φ=

+kπ（k∈Z），取k=0得到φ=﹣

=π，解得ω=2．由．由此即可得到本

=π，解得ω=2，

得函数表达式为f（x）=2sin（2x+φ） 又∵当x=∴2sin（2?∵

时取得最大值2， +φ）=2，可得

+φ=

+2kπ（k∈Z）

，∴取k=0，得φ=﹣

故选：A． 点评： 本题给出y=Asin（ωx+φ）的部分图象，求函数的表达式．着重考查了三角函数的图象与性质、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换等知识，属于基础题．

8．已知函数f（x）=

，若a、b、c均不相等且f（a）=f（b）=f（c），则abc

的取值范围为（ ）

A． （1，10） B． （5，6） C． （10，15） D． （20，24）

考点： 函数的零点与方程根的关系． 专题： 计算题；作图题；数形结合． 分析： 画出函数的图象，根据f（a）=f（b）=f（c），不妨a＜b＜c，求出abc的范围即可． 解答： 解：作出函数f（x）的图象如图，

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不妨设a＜b＜c，则 ab=1，

则abc=c∈（10，15）．

故选C． 点评： 此题是中档题．本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力．

二．填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请将答案填在答题纸上!） 9．已知向量=（2，5），=（，y），且⊥（+2），则y的值为 ﹣3 ．

考点： 平面向量数量积的运算；数量积判断两个平面向量的垂直关系． 专题： 平面向量及应用． 分析： 由题意可得解答： 解：由题意可得

=29+2（+5y）=0，解此方程求得 y的值．

=

+2

=29+2（+5y）=0，解得 y=﹣3，

故答案为﹣3． 点评： 本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量垂直的性质，属于中档题． 10．设向量

，则β﹣α=

考点： 向量的模．

分析： 利用向量模的坐标公式求出两个向量的模，利用向量的数量积公式求出平方等于向量的平方列出方程求出解答： 解：∵∴

， ．

，其中0＜α＜β＜π，若

；利用向量模的

，求出两个角的差． ，

=cos（β﹣α）

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，

∵∴∴

即cos（β﹣α）=0； 又有0＜α＜β＜π， ∴故答案为

点评： 本题考查向量模的坐标公式、向量的数量积公式、向量模的平方等于向量的平方． 11．已知

，其中

，则cosα= ．

考点： 两角和与差的正弦函数． 专题： 三角函数的求值． 分析： 由α的范围求得cosα=cos[（解答： 解：∵又

则cosα=cos[（=

故答案为：

． ，∴）﹣

]=cos（

．

）cos

）﹣

的范围，由平方关系结合已知求得]展开两角差的余弦得答案．

，∴

． +sin（

）sin

，

，再由

点评： 本题考查已知角的三角函数值求未知角的三角函数值，考查了两角和与差的三角函数，关键是“拆角与配角”思想的应用，是中档题．

12．已知正数a．b满足4a+b=30，使得

取最小值时，则实数对（a，b）是 （5，10） ．

考点： 基本不等式在最值问题中的应用． 专题： 不等式的解法及应用． 分析： 利用“1”的代换，结合基本不等式，即可求得结论、 解答： 解：∵正数a．b满足4a+b=30，

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∴=（4a+b）（）=≥?（5+）=0.3，

当且仅当，即a=5，b=10时，取最小值0.3．

∴实数对（a，b）是（5，10）．

故答案为：（5，10）． 点评： 本题考查基本不等式的运用，考查“1”的代换，考查学生的计算能力，正确运用“1”的代换是关键．

13．若函数（fx）（x∈R）是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为（fx）=

，

则f（）+f（）= ．

考点： 函数的值． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 通过函数的奇偶性以及函数的周期性，化简所求表达式，通过分段函数求解即可． 解答： 解：函数f（x）（x∈R）是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f（x）=

，

则f（）+f（）

=f（8﹣）+f（8﹣） =f（﹣）+f（﹣） =﹣f（）﹣f（） ==

=

． ．

故答案为：

点评： 本题考查函数的值的求法，分段函数的应用，考查计算能力．

14．有下列四个命题：

（1）“若X+Y=0，则X，Y互为相反数”的逆命题； （2）“全等三角形的面积相等”的否命题．

2

（3）“若q≤1，则x+2x+q=0有实根”的逆否命题； （4）“不等边的三角形的三个内角相等”的逆命题． 其中真命题的是 ①③ ．

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