数列求和的基本方法和技巧(2)

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＝n?1?1

[例10] 在数列{an}中，an?n项的和.

12n2??????，又bn?，求数列{bn}的前n?1n?1n?1an?an?1解： ∵ an?

12nn??????? n?1n?1n?12 ∴

bn?211?8(?)

nn?1nn?1?22（裂项）

∴ 数列{bn}的前n项和

1111111Sn?8[(1?)?(?)?(?)?????(?)] （裂项求和）

22334nn?1 ＝8(1?18n) ＝ n?1n?1111cos1????????[例11] 求证： ??????2?cos0cos1cos1cos2cos88cos89sin1解：设S?111??????

cos0?cos1?cos1?cos2?cos88?cos89?∵

sin1??tan(n?1)??tann? ??cosncos(n?1)111?????? （裂项求??????cos0cos1cos1cos2cos88cos89（裂项）

∴S?和）

＝

1{(tan1??tan0?)?(tan2??tan1?)?(tan3??tan2?)?[tan89??tan88?]} ?sin111cos1????(tan89?tan0)＝?cot1＝2? ＝

sin1?sin1?sin1∴ 原等式成立

六、合并法求和

针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的

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和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.

[例12] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.

解：设Sn＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179° ∵ cosn???cos(180??n?) （找特殊性质项）

∴Sn＝ （cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+···

+（cos89°+ cos91°）+ cos90° （合并求和）＝ 0 [例13] 数列{an}：a1?1,a2?3,a3?2,an?2?an?1?an，求S2002. 解：设S2002＝a1?a2?a3?????a2002

由a1?1,a2?3,a3?2,an?2?an?1?an可得

a4??1,a5??3,a6??2,

a7?1,a8?3,a9?2,a10??1,a11??3,a12??2, ……

a6k?1?1,a6k?2?3,a6k?3?2,a6k?4??1,a6k?5??3,a6k?6??2 ∵ a6k?1?a6k?2?a6k?3?a6k?4?a6k?5?a6k?6?0 （找特殊性质项） ∴ S2002＝a1?a2?a3?????a2002 （合并求和）

＝

(a1?a2?a3????a6)?(a7?a8????a12)?????(a6k?1?a6k?2?????a6k?6)

?????(a1993?a1994?????a1998)?a1999?a2000?a2001?a2002 ＝a1999?a2000?a2001?a2002 ＝a6k?1?a6k?2?a6k?3?a6k?4

＝5

[例14] 在各项均为正数的等比数列中，若a5a6?9,求log3a1?log3a2?????log3a10的值.

解：设Sn?log3a1?log3a2?????log3a10

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由等比数列的性质 m?n?p?q?aman?apaq （找特殊性质项） 和对数的运算性质 logaM?logaN?logaM?N 得

Sn?(log3a1?log3a10)?(log3a2?log3a9)?????(log3a5?log3a6) (合并求和)

＝(log3a1?a10)?(log3a2?a9)?????(log3a5?a6) ＝log39?log39?????log39

＝10

七、利用数列的通项求和

先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法. [例15] 求1?11?111?????111????1之和. ??n个1解：由于111???1????k个111k?999???9?????9(10?1) （找通项及特征） 9?k个1∴ 1?11?111?????111????1 ??n个1＝(101?1)?19111(102?1)?(103?1)?????(10n?1) （分组求和） 99911＝(101?102?103?????10n)?(1??1??1??????1) ????99n个1110(10n?1)n? ＝?910?19＝

1(10n?1?10?9n) 81?8[例16] 已知数列{an}：an?,求?(n?1)(an?an?1)的值.

(n?1)(n?3)n?1解：∵ (n?1)(an?an?1)?8(n?1)[

11?] （找通项及(n?1)(n?3)(n?2)(n?4)8

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特征）

＝8?[11?] （设制分组） (n?2)(n?4)(n?3)(n?4) ＝4?(1111?)?8(?) n?2n?4n?3n?4（裂项）

??∴ ?(n?1)(a)?4n?1?(11?11n?an?1n?1n?2?n?4)?8?(n?1n?3?n?4) 组、裂项求和）

＝4?(1113?4)?8?4

＝133

说明：本资料适用于高三总复习，也适用于高一“数列”一章的学习。

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