阳光家教网 www.ygjj.com 高考数学学习资料
高三数学总复习数列求和的基本方法和技巧
数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧.
一、利用常用求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：Sn?n(a1?an)n(n?1)?na1?d 22(q?1)?na1?n2、等比数列求和公式：Sn??a1(1?q)a1?anq
?(q?1)?1?q?1?qn11Sn??k?n(n?1) 4、Sn??k2?n(n?1)(2n?1)
62k?1k?1n5、 Sn?13k?[n(n?1)]2 ?2k?1?123n，求x?x?x?????x????的前n项和. log23n[例1] 已知log3x?解：由log3x??11?log3x??log32?x?
log232由等比数列求和公式得 Sn?x?x2?x3?????xn （利用常用公式）
11(1?n)x(1?x)22＝1－1 ＝＝
12n1?x1?2n[例2] 设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求f(n)?Sn的最大值.
(n?32)Sn?1解：由等差数列求和公式得 Sn?11n(n?1)， Sn?(n?1)(n?2) （利用常用公式） 221
阳光家教网 www.ygjj.com 高考数学学习资料
∴ f(n)?nSn＝2
(n?32)Sn?1n?34n?64 ＝
1n?34?64n＝
(n?18n?)2?501 50∴ 当
n?18，即n＝8时，f(n)max?
508二、错位相减法求和
这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列
{an· bn}的前n项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.
[例3] 求和：Sn?1?3x?5x2?7x3?????(2n?1)xn?1………………………①
解：由题可知，{(2n?1)xn?1}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{x的通项之积
n?1}
设xSn?1x?3x2?5x3?7x4?????(2n?1)xn………………………. ② （设制错位）
①－②得
(1?x)Sn?1?2x?2x2?2x3?2x4?????2xn?1?(2n?1)xn
（错位相减）
1?xn?1?(2n?1)xn 再利用等比数列的求和公式得：(1?x)Sn?1?2x?1?x(2n?1)xn?1?(2n?1)xn?(1?x) ∴ Sn? 2(1?x)[例4] 求数列
2462n,2,3,???,n,???前n项的和. 22222n1}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{}的通项之积 2n2n解：由题可知，{
2
阳光家教网 www.ygjj.com 高考数学学习资料
设Sn?2462n?2?3?????n…………………………………① 222212462nSn?2?3?4?????n?1………………………………② （设制22222错位）
1222222n①－②得(1?)Sn??2?3?4?????n?n?1 （错位相减）
222222212n ?2?n?1?n?1
22n?2 ∴ Sn?4?n?1
2
三、反序相加法求和
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1?an).
012n[例5] 求证：Cn?3Cn?5Cn?????(2n?1)Cn?(n?1)2n
012n证明： 设Sn?Cn………………………….. ① ?3Cn?5Cn?????(2n?1)Cn把①式右边倒转过来得
nn?110 （反序） Sn?(2n?1)Cn?(2n?1)Cn?????3Cn?Cnmn?m又由Cn可得 ?Cn01n?1n…………..…….. ② Sn?(2n?1)Cn?(2n?1)Cn?????3Cn?Cn①+②得
01n?1n（反序相2Sn?(2n?2)(Cn?Cn?????Cn?Cn)?2(n?1)?2n
加）
∴ Sn?(n?1)?2n
[例6] 求sin1?sin2?sin3?????sin88?sin89的值
3
2?2?2?2?2? 阳光家教网 www.ygjj.com 高考数学学习资料
解：设S?sin1?sin2?sin3?????sin88?sin89…………. ① 将①式右边反序得
2?2?2?2?2?S?sin289??sin288??????sin23??sin22??sin21?…………..② （反序）
又因为 sinx?cos(90??x),sin2x?cos2x?1
①+②得 （反序相加）
2S?(sin21??cos21?)?(sin22??cos22?)?????(sin289??cos289?)＝89
∴ S＝44.5
四、分组法求和
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. [例7] 求数列的前n项和：1?1,111?4,2?7,???,n?1?3n?2，… aaa111解：设Sn?(1?1)?(?4)?(2?7)?????(n?1?3n?2)
aaaSn?(1?111?2?????n?1)?(1?4?7?????3n?2)aaa将其每一项拆开再重新组合得
（分组） 当a＝1时，Sn?n?(3n?1)n(3n?1)n＝ （分组求和） 221n(3n?1)na?a1?n(3n?1)na?当a?1时，Sn?＝ [例8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}?1a?1221?a1?的前n项和.
解：设ak?k(k?1)(2k?1)?2k?3k?k
nn32 ∴ Sn??k(k?1)(2k?1)＝?(2k3?3k2?k)
k?1k?1将其每一项拆开再重新组合得
4
阳光家教网 www.ygjj.com 高考数学学习资料
Sn＝2?k?1nk?3?k??k （分组）
32k?1k?1nn＝2(13?23?????n3)?3(12?22?????n2)?(1?2?????n)
n2(n?1)2n(n?1)(2n?1)n(n?1)??＝ （分组求和） 222n(n?1)2(n?2) ＝
2五、裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：
sin1???（1）an?f(n?1)?f(n) （2） ?tan(n?1)?tann??cosncos(n?1)111(2n)2111an???（3） （4）an??1?(?)
n(n?1)nn?1(2n?1)(2n?1)22n?12n?1（5）an?1111?[?]
n(n?1)(n?2)2n(n?1)(n?1)(n?2)(6) an?n?212(n?1)?n1111 ?n??n??,则S?1?nn(n?1)2n(n?1)2n?2n?1(n?1)2n(n?1)2n11?212?31n?n?1[例9] 求数列,,???,,???的前n项和.
解：设
an?1n?n?1?n?1?n
（裂项）
则 Sn?11?2?12?3?????1n?n?1 （裂项求和）
＝(2?1)?(3?2)?????(n?1?n)
5
百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库数列求和的基本方法和技巧在线全文阅读。
相关推荐：