林初中2017届中考数学压轴题专项汇编：专题21等腰三角形的存在性

代几综合篇

专题21 等腰三角形的存在性

破解策略

以线段AB为边的等腰三角形构造方法如图1所示：

等腰三角形的另一个顶点在线段AB的垂直平分线上，或以A，B为圆心、AB长为半径的圆上（不与线段AB共线）．

A

A B B

图1

D 图2

C

解等腰三角形的存在性问题时，若没有明确指出等腰三角形的底或腰，就需要进行分类讨论．通常这类问题的解题策略有：

（1）几何法：先分类讨论，再画出等腰三角形，后计算．

如图2，若AB＝AC，过点A作AD⊥BC，垂足为D，则BD＝CD，∠BAD＝∠CAD，从而利用锐角三角函数、相似三角形等知识解决问题．

（2）代数法：先罗列三边长，再分类讨论列方程，然后解方程并检验． 有时候将几何法和代数法相结合，可以使得解题又快又好． 例题讲解

例1 如图，正方形ABCD的边长是16，点E在AB边上，AE＝3，F是BC边上不与B，C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B′处．若△CDB′恰为等腰三角形，则DB′＝ ． A E

D

B′

B

F

C

解 16或45 ①如图1，当CB′＝CD时，点F与点C重合，不符合题意，舍去； ②如图2，当DB′＝CD时，DB′＝16；

③如图3，当DB′＝B′C时，过点B作GH∥AD，交AB于点G，交CD于点H． 显然G，H分别为AB，CD的中点．

由题意可得B′E＝13，DH＝BG＝8，所以EG＝5， 从而B′G＝B′E2－EG2＝12，B′H＝4， 所以DB′＝B?H2－DH2＝45． A E

B′

D

B

图1

C (F)

②如图2所示：当DB′＝CD时，则DB′＝16（易知点F在BC上且不与点C、B重合）．

图2

③如图3所示：当B′D＝B′C时，过B′点作GH∥AD，则∠B′GE＝90°．

图3

当B′C＝B′D时，AG＝DH＝

12DC＝8．

由AE＝3，AB＝16，得BE＝13．

由翻折的性质，得B′E＝BE＝13． ∴EG＝AG－AE＝8－3＝5， ∴B′G＝B'E2?EG2?12， ∴B′H＝GH－B′G＝16－12＝4， ∴DB′＝B'H2?DH2?45

例2 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm．如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为

1cm/s．连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4），解：如图，过点P作PH⊥AC于H， ∵∠C＝90°，∴AC⊥BC， ∴PH∥BC， ∴△APH∽△ABC， ∴

PHBC＝

APAB，

∵AC＝4cm，BC＝3cm， ∴AB＝5cm， ∴

PH3＝

5?tt35

∴PH＝3﹣t，AH＝

4(5?t)5

∴QH＝4?931829t?18t?25 t，PQ＝(4?t)2?(3?t)2?5555在△APQ中，

①当AQ＝AP，即t＝5﹣t时，解得：t1＝

5； 2②当PQ＝AQ，即18225t?18t?25＝t时，解得：t2＝，t3＝5；

135③当PQ＝AP，即∵0＜t＜4，

18240t?18t?25＝5﹣t时，解得：t4＝0，t5＝；

135∴t3＝5，t4＝0不合题意，舍去， ∴当t为

52540s或s或s时，△APQ是等腰三角形． 213135． 4例3 如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA＝1，OC＝2，点D在边OC上且OD＝（1）求直线AC的解析式；

（2）在y轴上是否存在点P，直线PD与矩形对角线AC交于点M，使得△DMC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）设直线AC的解析式y＝kx＋b， 又∵OA＝1，OC＝2，

∴A（0，1），C（2，0）代入函数解析式求得：k＝?直线AC的函数解析式：y＝?

（2）若DC为底边，

1，b＝1 21x?1 25?213∴M的横坐标为4＝，

82133则点M的坐标为（，）

81615∴直线DM解析式为：y＝x?

285∴P（0，?）；

8若DM为底，则CD＝CM＝∴AM＝AN＝5?∴N（5?3， 43， 43，1）， 45（5+2）， 4可求得直线DM的解析式为y＝（5＋2）x－∴P（0，－

5（5+2）） 43 4若CM为底，则CD＝DM＝∴点M的坐标为（

43，） 5545x＋， 33∴直线DM的解析式为y＝－∴点P的坐标为（0，

5） 3555），（0，－（5+2）），（0，） 843综上所述，符合条件的点P的坐标为（0，?例4 已知抛物线y＝－x2＋mx－n的对称轴为x＝－2，且与x轴只有一个交点． （1）求m，n的值；

（2）把抛物线沿x轴翻折，再向右平移2个单位，向下平移1个单位，得到新的抛物线C，求新抛物线C的解析式；

（3）已知P是y轴上的一个动点，定点B的坐标为（0，1），问：在抛物线C上是否存在点D，使△BPD为等边三角形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）∵抛物线的对称轴为x＝－2， ∴m＝－4．

∵抛物线与x轴只有一个交点， ∴m2－4n＝0． 从而n＝4．

yBHOPDx

（2）原抛物线的表达式为y＝－x2－4x－4＝－（x＋2）2． 所以抛物线C的表达式为y＝x2－1．

（3）假设点D存在，设点D的坐标为（d，d2－1）． 如图，作DH⊥y轴于点H， 则DH2＝ d2，BH2＝（d2－2）2． 若△BPD是等边三角形，则有 解得d＝?3或d＝?23． 3231，）， 33DH222

=3，即d＝3（d－2）， BH所以满足条件的点D存在，分别为D1（3，2），D2（－3，2），D3（D4（－231，）． 33 例5 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝

12

x－3x－8与x轴交于A，B两点，与2y轴交于点C，直线l经过原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E（3，－4），连结CE，若P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线PB与直线l交于点Q．试探究：当m为何值时，△OPQ是等腰三角形．

yOAECDlBx

11解 由抛物线y＝x2－3x－8＝（x－8）（x＋2） ，

22可得点A，B，C的坐标分别为（－2，0），（8，0）（0，－8）． 所以CE＝(3－0)2?(－4?8)2＝5＝OE，

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库林初中2017届中考数学压轴题专项汇编：专题21等腰三角形的存在性在线全文阅读。