高考数学常用公式及结论200条(1)

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159．“错位问题”及其推广

贝努利装错笺问题:信n封信与n个信封全部错位的组合数为

f(n)?n![1111?????(?1)n]. 2!3!4!n!推广: n个元素与n个位置,其中至少有m个元素错位的不同组合总数为

1234f(n,m)?n!?Cm(n?1)!?Cm(n?2)!?Cm(n?3)!?Cm(n?4)!???(?1)C(n?p)!???(?1)C(n?m)!ppmmmm

1234pmCmCmCmCmpCmmCm?n![1?1?2?2?4???(?1)p???(?1)m].

AnAnAnAnAnAn160．不定方程x1+x2+?+xn?m的解的个数

n?1(1)方程x1+x2+?+xn?m（n,m?N）的正整数解有Cm个. ?1?n?1(2) 方程x1+x2+?+xn?m（n,m?N?）的非负整数解有 Cn个. ?m?1(3) 方程x1+x2+?+xn?m（n,m?N?）满足条件xi?k(k?N,2?i?n?1)

n?1的非负整数解有Cm个. ?1?(n?2)(k?1)?(4) 方程x1+x2+?+xn?m（n,m?N?）满足条件xi?k(k?N,2?i?n?1)的正整数解有Cn?1?C1Cn?1?C2Cn?1???(?1)n?2Cn?2Cn?1个.

n?m?1n?2m?n?k?2n?2m?n?2k?3n?2m?1?(n?2)k161.二项式定理

0n1n?12n?22rn?rrnn(a?b)n?Cna?Cnab?Cnab???Cnab???Cnb ;

?二项展开式的通项公式

rn?rr1，2?，n). Tr?1?Cnab(r?0，162.等可能性事件的概率

P(A)?m. n163.互斥事件A，B分别发生的概率的和 P(A＋B)=P(A)＋P(B)．

164.n个互斥事件分别发生的概率的和

P(A1＋A2＋?＋An)=P(A1)＋P(A2)＋?＋P(An)． 165.独立事件A，B同时发生的概率 P(A·B)= P(A)·P(B).

166.n个独立事件同时发生的概率

P(A1· A2·?· An)=P(A1)· P(A2)·?· P(An)． 167.n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率

kkPn(k)?CnP(1?P)n?k.

168.离散型随机变量的分布列的两个性质 （1）P,2,?); i?0(i?1（2）P1?P2???1.

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找家教，到阳光 阳光家教网 全国最大家教平台 169.数学期望 E??x1P1?x2P2???xnPn??

170.数学期望的性质

（1）E(a??b)?aE(?)?b. （2）若?～B(n,p),则E??np.

(3) 若?服从几何分布,且P(??k)?g(k,p)?qk?1p，则E??171.方差

1. pD???x1?E???p1??x2?E???p2????xn?E???pn??

172.标准差

222??=D?.

173.方差的性质

(1)D?a??b??a2D?；

(2）若?～B(n,p)，则D??np(1?p).

(3) 若?服从几何分布,且P(??k)?g(k,p)?qk?1p，则D??q. p2174.方差与期望的关系

D??E?2??E??.

175.正态分布密度函数

2f?x??1e2?6??x???2262,x????,???，式中的实数μ，?（?>0）是参数，分别表

示个体的平均数与标准差.

176.标准正态分布密度函数

x?1f?x??e2,x????,???.

2?62177.对于N(?,?)，取值小于x的概率

?x???F?x?????.

???P?x1?x0?x2??P?x?x2??P?x?x1?

2?F?x2??F?x1?

?x????x1??????2?????.

??????178.回归直线方程

n??xi?x??yi?y???i?1?b??n?2y?a?bx，其中??xi?x???i?1??a?y?bx?xy?nxyiii?1nn?xi2?nx2i?1.

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找家教，到阳光 阳光家教网 全国最大家教平台 179.相关系数 r???x?x??y?y?iii?1n?(x?x)?(y?y)2iii?1i?1nn ?2??x?x??y?y?iii?1n(?xi2?nx2)(?yi2?ny2)i?1i?1nn. |r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小. 180.特殊数列的极限

?0?n（1）limq??1n???不存在?|q|?1q?1|q|?1或q??1.

?0(k?t)?aknk?ak?1nk?1???a0?at（2）lim??(k?t).

n??bnt?bnt?1???bbtt?10?k?不存在 (k?t)?（3）S?lima11?qn1?qx?x0?n????a11?q（S无穷等比数列

?aq? (|q|?1)的和）.

n?11181. 函数的极限定理

x?x0limf(x)?a?lim?f(x)?lim?f(x)?a.

x?x0182.函数的夹逼性定理

如果函数f(x)，g(x)，h(x)在点x0的附近满足： （1）g(x)?f(x)?h(x);

（2）limg(x)?a,limh(x)?a（常数）,

x?x0x?x0则limf(x)?a.

x?x0本定理对于单侧极限和x??的情况仍然成立. 183.几个常用极限

1?0，liman?0（|a|?1）；

n??n??n11（2）limx?x0，lim?.

x?x0x?x0xx0（1）lim184.两个重要的极限 （1）limsinx?1；

x?0xx?1?（2）lim?1???e(e=2.718281845?).

x???x?185.函数极限的四则运算法则

若limf(x)?a，limg(x)?b，则

x?x0x?x0找家教，到阳光 阳光家教网 全国最大家教平台

找家教，到阳光 阳光家教网 全国最大家教平台 (1)lim??f?x??g?x????a?b；

x?x0x?x0(2)lim??f?x??g?x????a?b;

f?x?a(3)lim??b?0?. x?x0g?x?b186.数列极限的四则运算法则 若liman?a,limbn?b，则

n??n??(1)lim?an?bn??a?b；

n??n??(2)lim?an?bn??a?b； (3)limana??b?0?

n??bbnn??n??n??(4)lim?c?an??limc?liman?c?a( c是常数). 187.f(x)在x0处的导数（或变化率或微商）

f?(x0)?y?x?x0?limf(x0??x)?f(x0)?y?lim.

?x?0?x?x?0?x188.瞬时速度

??s?(t)?lim?ss(t??t)?s(t)?lim.

?t?0?t?t?0?t189.瞬时加速度

a?v?(t)?lim?vv(t??t)?v(t)?lim.

?t?0?t?t?0?t190.f(x)在(a,b)的导数

dydf?yf(x??x)?f(x)f?(x)?y????lim?lim.

dxdx?x?0?x?x?0?x191. 函数y?f(x)在点x0处的导数的几何意义

函数y?f(x)在点x0处的导数是曲线y?f(x)在P(x0,f(x0))处的切线的斜率

f?(x0)，相应的切线方程是y?y0?f?(x0)(x?x0).

192.几种常见函数的导数 (1) C??0（C为常数）. (2) (xn)'?nxn?1(n?Q). (3) (sinx)??cosx. (4) (cosx)???sinx. (5) (lnx)??11ex；(loga)??loga. xxxxxx(6) (e)??e; (a)??alna.

（1）(u?v)?u?v. （2）(uv)?uv?uv.

''''''193.导数的运算法则

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找家教，到阳光 阳光家教网 全国最大家教平台 u'u'v?uv'(v?0). （3）()?vv2194.复合函数的求导法则

设函数u??(x)在点x处有导数ux'??'(x)，函数y?f(u)在点x处的对应点U处有

'''导数yu'?f'(u)，则复合函数y?f(?(x))在点x处有导数，且yx，或写作?yu?uxfx'(?(x))?f'(u)?'(x).

195.常用的近似计算公式（当x充小时）

1n1x;1?x?1?x； 2n1?1?x； (2)(1?x)??1??x(??R)；

1?xx(3)e?1?x； (4)ln(1?x)?x；

(5)sinx?x（x为弧度）； (6)tanx?x（x为弧度）； (7)arctanx?x（x为弧度）

196.判别f(x0)是极大（小）值的方法

(1)1?x?1?当函数f(x)在点x0处连续时，

（1）如果在x0附近的左侧f?(x)?0，右侧f?(x)?0，则f(x0)是极大值； （2）如果在x0附近的左侧f?(x)?0，右侧f?(x)?0，则f(x0)是极小值. 197.复数的相等

a?bi?c?di?a?c,b?d.（a,b,c,d?R） 198.复数z?a?bi的模（或绝对值） |z|=|a?bi|=a2?b2. 199.复数的四则运算法则

(1)(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i; (2)(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i; (3)(a?bi)(c?di)?(ac?bd)?(bc?ad)i; (4)(a?bi)?(c?di)?ac?bdbc?ad?2i(c?di?0). 222c?dc?d200.复数的乘法的运算律

对于任何z1,z2,z3?C，有 交换律:z1?z2?z2?z1.

结合律:(z1?z2)?z3?z1?(z2?z3). 分配律:z1?(z2?z3)?z1?z2?z1?z3 . 201.复平面上的两点间的距离公式

d?|z1?z2|?(x2?x1)2?(y2?y1)2（z1?x1?y1i，z2?x2?y2i）.

202.向量的垂直

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找家教，到阳光 阳光家教网 全国最大家教平台 ??????????非零复数z1?a?bi，z2?c?di对应的向量分别是OZ1，OZ2，则 ??????????z OZ1?OZ2?z1?z2的实部为零?2为纯虚数?|z1?z2|2?|z1|2?|z2|2

z1?|z1?z2|2?|z1|2?|z2|2?|z1?z2|?|z1?z2|?ac?bd?0?z1??iz2 (λ为非

零实数).

203.实系数一元二次方程的解

实系数一元二次方程ax?bx?c?0，

2?b?b2?4ac①若??b?4ac?0,则x1,2?; 2ab2②若??b?4ac?0,则x1?x2??;

2a2③若??b?4ac?0，它在实数集R内没有实数根；在复数集C内有且仅有两个共轭

2?b??(b2?4ac)i2复数根x?(b?4ac?0).

2a

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